欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:47731806
大小:458.14 KB
页数:10页
时间:2019-11-09
《函数恒成立问题_参变分离法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、......学科数学课题名称函数恒成立问题——参变分离法周次教学目标教学重难点函数恒成立问题——参变分离法一、基础知识:1、参变分离:顾名思义,就是在不等式中含有两个字母时(一个视为变量,另一个视为参数),可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数:一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母(一般为所求)视为参数。3、参变分离法的适用范围:判断恒成立问题是否可以采用参变分离法
2、,可遵循以下两点原则:(1)已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”,会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法。例如:,等(2)要看参变分离后,已知变量的函数解析式是否便于求出最值(或临界值),若解析式过于复杂而无法求出最值(或临界值),则也无法用参变分离法解决问题。(可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目)4、参变分离后会出现的情况及处理方法:(假设为自变量,其范围设为,为函数;为参数,为其表达式)(1)若的值域为①,
3、则只需要,则只需要②,则只需要,则只需要学习参考......③,则只需要,则只需要④,则只需要,则只需要(2)若的值域为①,则只需要,则只需要(注意与(1)中对应情况进行对比)②,则只需要,则只需要(注意与(1)中对应情况进行对比)③,则只需要(注意与(1)中对应情况进行对比),则只需要④,则只需要(注意与(1)中对应情况进行对比),则只需要5、多变量恒成立问题:对于含两个以上字母(通常为3个)的恒成立不等式,先观察好哪些字母的范围已知(作为变量),那个是所求的参数,然后通常有两种方式处理(1)选择一个已知变量,与所求参数放在
4、一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值(同时消去一元),进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。(2)将参数与变量进行分离,即不等号一侧只含有参数,另一侧是双变量的表达式,然后按所需求得双变量表达式的最值即可。二、典型例题:例1:已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是_______思路:首先转化不等式,,即恒成立,观察不等式与学习参考......便于分离,考虑利用参变分离法,使分居不等式两侧,,若不等式恒成立,只需,令(解析式可看做关于的二次函数,故配方求最值),所以答案:例2:已知函数,若在上恒成立,则
5、的取值范围是_________思路:恒成立的不等式为,便于参数分离,所以考虑尝试参变分离法解:,其中只需要,令(导函数无法直接确定单调区间,但再求一次导即可将变为,所以二阶导函数的单调性可分析,为了便于确定的符号,不妨先验边界值),,(判断单调性时一定要先看定义域,有可能会简化判断的过程)在单调递减,在单调递减答案:注意:求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性,当导函数无法直接判断符号时,可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数,进而通过单调性和关键点(边界点,零点)等确定符号。学习参考......例3:若
6、对任意,不等式恒成立,则实数的范围是.思路:在本题中关于的项仅有一项,便于进行参变分离,但由于,则分离参数时要对的符号进行讨论,并且利用的符号的讨论也可把绝对值去掉,进而得到的范围,,当时,,而;当时,不等式恒成立;当时,,而综上所述:答案:注意:(1)不等式含有绝对值时,可对绝对值内部的符号进行分类讨论,进而去掉绝对值,在本题中对进行符号讨论一举两得:一是去掉了绝对值,二是参变分离时确定不等号的是否变号。(2)在求解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式,替代了原有的构造函数求导出最值的方法,简化了运算。(3)注意最后确定
7、的范围时是三部分取交集,因为是对的取值范围进行的讨论,而无论取何值,的值都要保证不等式恒成立,即要保证三段范围下不等式同时成立,所以取交集。例4:设函数,对任意的恒成立,则实数的取值范围是________________思路:先将不等式进行化简可得:,即,便于进行分离,考虑不等式两边同时除以,可得:,,学习参考......最小值,即解得:答案:注意:本题不等式看似复杂,化简后参变分离还是比较容易的,从另一个角度看本题所用不等式为二次不等式,那么能否用二次函数图像来解决呢?并不是一个很好的办法,因为二次项系数为关于的表达式且过于
8、复杂,而对称轴的形式也不利于下一步的计算。所以在解题时要注意观察式子的结构,能够预想到某种方法所带来的运算量,进而做出选择例5:若不等式对恒成立,则实数的取值范围是.思路:,令,对绝对值内部进行符号讨论,即,而在单调递增,在单调递减,可求出答案:例6:设正数,对任意,不等式恒
此文档下载收益归作者所有