2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题16 恒成立问题——参变分离法

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1、专题16恒成立问题——参变分离法【热点聚焦与扩展】无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.利用导数求解含参数的问题时，首先，要具备必要的基础知识(导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等);其次，要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等.1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两

2、个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系

3、过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）（1）若的值域为①，则只需要，则只需要②，则只需要，则只需要③，则只需要，则只需要④，则只需要，则只需要（2）若的值域为①，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进

4、行对比）②，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）③，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要④，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要x/k-+w5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.（2）将参数与变量进行分离，即

5、不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.【经典例题】例1．【2018年（衡水金卷调研卷）三】若存在，不等式成立，则实数的最大值为（）A.B.C.4D.【答案】A【解析】设，则故选例2.【2018届河北省邯郸市高三1月】已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】最大值,因为当时令因此,由因为为偶函数,所以最大值为,,选C.例3．【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考评】已知在上是增函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D

6、.【答案】B【解析】在上是增函数，在上恒成立故选例4．【2018届湖南省张家界市高三三模】若函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意，不妨设，则，由时为减函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而此时函数为增函数，一减一增为减，故不合题意；同理由时为增函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而当时，函数为增函数，因此当时，同增为增，满足题意.故选D.例5.已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________【答案】【解析】恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变

7、分离法解：，其中只需要，令（导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函【名师点睛】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号.例6【2018届山西省孝义市高三下学期一模】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，曲线总在曲线的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.试题解析：（1）由可得的定义域为

8、，且，若，则，函数在上单调递增；若，则当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）原命题等价于不等式在上恒成立，即，不等式恒成立.∵当时，，∴，即证当时，大于的最大值.又∵当时，，∴，综上所述，.【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问