专题4.7压轴题高分策略之恒成立问题--参变分离法

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1、压轴题高分策略之恒成立问题一一参变分离法【知识梳理】1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变•量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通

2、过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于：紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。心‘占严》等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题一一最值分析法“屮的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：(假设x为自变量，其范围设为D,/(x)为函数；d为参数，g(d)为其表达式)(1)若/(兀)的值域为[加,M]①V兀wD,g(a)S/(x).,则只需要<

3、g(a)/(x),则只需要g@)>/(x)max=M•VxgD,g(a)>f(x),则只需要g(a)>f(x)max=M③BxeD,g(a)f{x),则只需要g(a)>/(x)min=m3xgD,g(a)>/(兀),则只需要g(a)>f(x)=m(2)若.f(兀)的值域为伽,M)①VxeD,g(a)

4、g{a)/(x),则只需要g⑷Vxg£>,/(x),则只需要g(a)>M(注意与(1)中对应情况进行对比)②3xeD,^(«)f(x),则只需要g(a)>m(注意与(1)中对应情况进行对比)3xgD,g(a)>f(x),则只需要g(a)>m6.多变量恒成立问题：对于含两个以上

5、字母(通常为3个)的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知(作为变量)，那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理(1)选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值(同时消去一元)，进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。(2)将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变.量表达式的最值即可。【典例1】己知函数=若f(x)

6、对任意x>l恒成立，则R的最大值为x-1【点拨】(1)本题的一个重要技巧在于对/?(对零点的“设而不求”，在求得力(对单调增的前提下，判断/2(兀)的符号零点必不可少，但方程x-x-2=0无法求出解。那么卡在这一步是否要放弃重來？不然。可暂用一个变量来表示零点，再用特殊点的函数值将零点控制在一个小的范围内。在本题中这种方法带来方法上的两个突破：第一，能够判断加兀)的符号进而得到g(x)的符号，确定了g(x)的单调性，找到最小值。第二，尽管b不可求，但是本身自带一个方程b-b-2=Q^inb=b-2,从而达到了一个对数与一次函数

7、的转换。对后面的化简有极大帮助(2)若所求变量在整数集中取值，则求变量的值吋不仅可利用等量关系，也可考虑求关于该变量的不等关系，再由其整数性选取符合条件的整数即可。【典例3][2017广东惠州二调】已知函数/(x)=Inx,/?(x)=ax(aeR).(I)函数/(x)的图彖与加力的图彖无公共点，求实数Q的取值范围；1mPX(II)是否存在实数加，使得对任意的XG(-,+oo),都有函数〉=/(兀)+—的图象在g(JV)=—的图象的2xx下方？若存在，请求出整数加的最大值；若不存在，请说理由.(参考数据：In2=0.6931,In3=

8、1.0986,Ve=1.6487,Ve=1.3956).1(iA【典例4】已知函数f[x)=—x2-^a2-a^x-xa<—.2I2丿(1)若函数/(兀)在兀=2处取得极•值，求曲线y=f(x)在点(1,/(1))处