注重培养转化意识提高解几解题能力.pdf

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1、2014年第53卷第5期数学通报45注重培养转化意识提高解几解题能力唐舜生(广州市花都区邝维煜纪念中学51O8OO)解析几何是高中数学的重点和难点．有相当例1椭圆C：+一1，过点D(0，4)的直一部分同学解答解析几fIIJ总是“毫无头绪”甚是苦线Z与椭圆C交于E，F两点．恼．究其原因，主要是学没有掌握解析几何的思1维特征和基本思想，对于题目中的几何关系、代数(1)设B(o，一÷)，若lBEl—lBFl，求直线-t关系不能够准确转化，找不到条件与条件之间的l的方程；联系．针对这种情况，本人在教学实践中，着意

2、培(2)A是椭圆的右顶点，且EAF的角平分养学生的转化意识，对提高学生解答解析几何的线是z轴，求直线z的方程；能力，收到了良好的效果．下面从三个方面谈谈自(3)若以EF为直径的圆过原点，求直线z的己的做法．方程；1分析几何条件的本质特征转化成合理的代(4)以线段OE、OF为邻边作平行四边形数关系OEPF，其中顶点P在椭圆C上，0为坐标原点，解析几何的核心方法是“用代数方法研究几求0到直线z距离的最小值；何问题”，所以重点要培养学生“几何条件代数化”概括以上问题的求解过程，填写下表：的意识，故在教学中应结合

3、不同的题目情境强化这种意识，例如可进行如下训练：几何条件本质特征转化成适当的代数关系lBEi—lBFI等腰三角形，三线合一EF∞一一1(G为EF中点)EAF的角平分线足z轴直线AE、AF关于轴对称+AF一0以EF为直径的圆过原点OE]_OF．．一0XE·XF—一ye·yF—o作平行四边形OEPF一+Xp一正E七zF，P一EjrF学生在解决这些问题的过程中，能体会“几何转化成代数关系式，但我们在预判解题长度时，发条件代数化”这一核心思想方法：分析几何条件的现后面的计算可能会非常复杂，甚至无法算到底，本质特征

4、，选择适当的代数式来表示．通常与斜有人戏称为“合理但不合法”．这时我们应该考虑率、中点、距离有关．教学中教师还可追问学生还在不改变题意的前提下，把题目中复杂的几何条能提出哪些类似问题，或在其它题目中还见过哪件转化成易于代数解决问题的简单的几何条件．些不同的几何条件?这种意识一定要学生亲自经例如：历“实践——概括——内化”的过程，成为教学活例2(1)已知圆C的半径为2，圆心为动不可缺少的重要组成部分．C(一3，1)，若直线z过点A(4，0)，且与圆C相交2分析复杂的几何条件转化成简单的几何条件于P、Q两点，

5、PCQ一120。，求直线Z的方程．在一些解析几何题目中，几何条件虽然容易46数学通报2014年第53卷第5期应抓住问题的本质，在不改变所研究几何对象的l前提下重新审视题意，把题目中的条件变换成等价的条件，使得问题本质更加明朗化，根据对问题的不同理解就能得到不同的解法．例如：o

6、例3若抛物线Y—nz一1上恒有关于直线z+Y一0对称的相异的两点A，B，求a的取值f范围．分析剖析对称概念，题意可表示为：直线(2)给定圆P：z+。一2x及抛物线S：y一AB与直线z+y一0垂直，并且与y—aJT一1交4，过圆心P作

7、直线z，此直线与上述两曲线的四于两点A，B，弦AB的中点在直线z+y一0一k，个交点，自上而下顺次记为A、B、C、D，如果线段求a的取值范围．于是有下面解法．AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，求解设抛物线上的两点A(z，Y)，B(z。，直线￡的方程．Yz)，直线AB的方程为y—z+b，fr+bY／由{。得ax-x-(6+1)一0．I一0一l设直线AB的中点为M(x。，。)，则0＼／／—<]]．．／＼,37o一，Y。：==z0十b一十6；由于点M在直线z+一0上，(3)设：圆X2y2T—o，由此

8、得一；干交于A、B两点，l又与双曲线z一一1相交于C．D两点，c、D三等分线段AB．此时nz一z一(6+1)一0，求直线的方程．可变形为ax2一z一(一+1)：0，概括以上问题的求解过程，填写下表：由A一1+4a(一+1)>0，题中的几何条件转化后的几何条件圆心到直线l的解得n>．(1)PCQ一12O。距离等于1例4已知双曲线c：X2一荸===1(n>6>o)(2)线段AB、BC、CD的长成等差lADl一3lBCI数列；即lABI+lCDl一2lBCl—b和圆0：+一b(其中原点0为圆心)，过双曲(3)C

9、、D三等分线段AB；一硗，一线C上一点P(z。，Y。)引圆0的两条切线，切点即lACl—lCDl=lDBI3分别为A、B．若双曲线C上存在点P，使得APB一90。，求双曲线离心率e的取值范围．可以看出，把题中的几何条件分别转化成点分析易知四边形PAOB是正方形且到直线的距离、弦的长度、向量关系之后，有利于化为适当的代数关系式，更使后续计算变得简单，IoPI一,／gb，故题意可描述为：已知双曲线c：同时也培养了学生化生为熟的思维