用代数方法探讨四阶幻方的解.pdf

《用代数方法探讨四阶幻方的解.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第32卷第3期沈阳师范大学学报(自然科学版)V01．32No．32014年7月JournalofShenyangNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Ju1．2014文章编号：1673—5862(2014)03—0384—04用代数方法探讨四阶幻方的解杨俊平，孟宪涛(1．大连海洋大学，应用技术学院辽宁大连116300；2．沈阳师范大学数学与系统科学学院，沈阳110034)摘要：从杨辉四阶幻方人手，介绍了两种四阶幻方的构造方法，分别是通过对幻方进行元素互换的杨辉构造法和用元素构造

2、矩阵的矩阵构造法。运用线性代数的方法探求四阶幻方的解，建立了四阶幻方的约束方程组，并通过初等变换得到了约束方程组等价的约束条件，利用这些约束条件并结合四阶幻方的性质得到了关于四阶幻方的等价关系。通过这种等价关系，对四阶幻方进行“行变换”与“列变换”举出了由已知幻方生成基本幻方和怎样构造四阶幻方的例子。阐述了幻方同构的概念和幻方总数与基本解的个数，并且指出对于一个已知幻方，共存在8个与其同构的幻方，其中包括已知幻方。关键词：四阶幻方；约束方程组；基本解；同构中图分类号：O175文献标志码：Adoi：10．3969／j．

3、issn．1673—5862．2014．03．0120引言幻方为中国人所发明，早在汉朝就开始了三阶幻方的研究[I-3]。而我国南宋时期著名数学家杨辉则是对四阶幻方开展较为系统研究的第一人。他在所著的《续古摘奇算法》中给出了极为巧妙的四阶幻方构造方法：先将1～16这16个数排列成图1a，然后将四角位置的四个数按对角线方向两两对换，即1—16，4—13。再将位于中心位置2×2方阵的4个数按对角线方向两两对换，即10—7，11—6。对换后即得图1b，则图1b称为杨辉四阶幻方的阴图。对阴图1、2两行互换，3、4两行互换，即得

4、图1c，图1c称为杨辉四阶幻方的阳图。注意到图1b、图1c中的每一行、列和对角线上的四数之和均为34，此处称34为四阶幻方常数。49516216133147ll2ll581015610379126l12813144l15(b)(c)图1杨辉四阶幻方的生成图和三阶幻方不同，四阶幻方的数量众多，且构造方法也不唯一，甚至可以用矩阵运算生成幻方：用0，1，2，3作为元素构造矩阵收稿日期：2013—09—27。基金项目：辽宁省教育厅高等学校科学研究项目(20060842)；辽宁省高等教育改革研究项目(辽教发[20091141号

5、)。作者简介：杨俊平(1969一)，女，辽宁朝阳人，大连海洋大学副教授。第3期杨俊平，等：用代数方法探讨四阶幻方的解3853021A==，C一，4A+B+C一1203O33O由此矩阵即得图2幻方，且图2幻方为异于图lb、图1c的四阶l221l81213幻方[。211214ll72幻方的研究一般包括寻求幻方的全部解和幻方特性的研究[。30O3本文通过建立四阶幻方的约束方程组，利用代数方法得出四阶幻方解151063的约束条件，并结合试验方法给出四阶幻方的求解举例[。1。。。45916O12约3束条件图2矩阵运算产生的幻方

6、3210在图1b、图1c和图2中，给出了四阶幻方的3种形式，或称为是四阶幻方的3个解。一般地设图3为四阶幻方的一个解，则有如下约束方程组成立，0ll0l2nl3口l4口1l+a12+a13+a14—34，O-21+0-22+a23+口24—34，a31+a32+a33+a34—34，a41+a42+a43+a44===34，Ⅱ21Ⅱ220船O1241111all+O-21+a31+a41—34，al2+a22+a32+a42：==34，03l如20330341111a13+a23+a33+a43=34，al4+a24

7、+a34+a44=34，(1)1111all+a22+0-33+a44—34，n14+n23+口32+a41—34，Ⅱ4lo42n43044all+a12十a13+口l4+a21+a22+a23+n24+倪31+1111a32+a33+a34+a41+a42+a43+a44=136。图3四阶幻方的一般形式此处{口ll，a12，⋯，a44)一{1，2，⋯，16}。对方程组(1)的增广矩阵进行初等变换得到对应的同解方程组口11=a24+口34+a42+a43+a44～34倪12=a24～a32+a33+a34+a43+2

8、a44～34al3=一n24+a32一a33一a34一a42—2a43—2a44+68M4o．14=——o．24——a34一a44+340．21=一砚4+a32+a338n50．22=——a24——a33——a34一a42～a43—2a44+68769口23a24一a32+a34+a42+a43+2a44～34a24n2423(2)a31=——