特殊四阶幻方的变换群

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1、第19卷第2期2010年4月运筹与管理OPERATIONSRESEARCHANDMANAGEMENTSCIENCEV01．19，No．2Apr．2010特殊四阶幻方的变换群徐丹丹1，顾秀松1，张学斌2(1．解放军理工大学理学院，江苏南京，211lOl；2．南京师范大学数学与计算机科学学院，江苏南京。210097)摘要：本篇文章考虑了特殊四阶幻方的变换群及幻方分类的问题。通过研究特殊四阶幻方的变换，结合对称群中的置换元素相互作用生成的轮换关系，给出了192阶和384阶变换群。接着利用变换群将特殊四阶幻方进一步分成了不同形式的9类，辅助于计算机程序可以搜索到具体结果。

2、关键词：幻方；变换群；轮换；特殊四阶幻方中图分类号：0157文章标识码：A文章编号：1007—3221(2010)02．0104．05TheTransformationGroupsofSpecialMagicSquaresofOrderFourXUDan—danl，GUXiu．son91，ZHANGXue．bin2(1．InstituteofScience，PLAUniversityofScienceandTechnology，Nanjing2101，China)(2．SchoolofMathematicsandComputerScience，NanjingNor

3、malUniversity，Nanjing210097，China)Abstract：Inthispaper，thetransformationgroupsofspecialmagicsquaresoforder4andtheclassificationofmagicsquaresareconsidered．Wewillmanifesttheexistenceofthetransformationgroupsoforder192and384bystudyingthetransformationsandrotationrelations．Thenwedivideth

4、especialmagicsquaresintodifferent9classesundertheactionofgiventransformationgroups．Bymakinguseofthecomputerprogrammer，theprecisedatacanbesearched．Keywords：magicsquare；transformationgroups；rotate；specialmagicsquares0引言幻方是一种组态设计，在我国被称为纵横图与龟背图，西方则称之为魔方或幻方。所谓n阶幻方，是指nxn方阵中数字1，2，⋯，n2的某种配置，使

5、得方阵中每行，每列及两对角线上的n数之和均为捍(n2+1)／2，即幻方常数。例如3阶幻方的幻方常数为15，4阶的幻方常数为34，5阶的为65等等。幻方最早记载于我国公元前500年春秋时期的《大戴礼》中，这表明我国早在2500多年前就已经掌握幻方的排列规律，中国先秦的“洛书”即纵横图是世界上最古老的三阶幻方(表1)。在国外，直到公元130年，希腊人AlexandriaTheon才第一次提到幻方；欧洲最早的幻方是1514年德国画家AlberchtDure在他著名的铜版画Melencolia上的4×4幻方⋯，有趣的是，他将创作年代(1514)也镶嵌在这个方阵中，而且上下

6、左右，四个小方阵中的四个元素的和都是34(表2)。收稿日期：2008—10．18基金项目：国家自然科学基金项目(70571087)作者简介：徐丹丹(1980一)，江苏盐城人，讲师．主要从事组合与设计理论的研究；张学斌(1958一)．江苏南京人，教授．主要从事组舍与设计理论的研究。第2期徐丹丹，等：特殊四阶幻方的变换群105表1洛书表2四阶幻方1632135101l896712415141目前，幻方在程序设计，图论，人工智能，组合分析，实验设计(如正交设计)以至工艺美术方面有着广泛的应用‘2¨1。北方工业大学齐东旭教授在文章‘41中提出“按照幻方的图像置乱变换”，可

7、以将所需保密的图像置乱后，再按幻方的原理复原，这种置乱变换可以进行多次。本文在四阶幻方已可分成不同形式的220类的基础上，主要探寻特殊四阶幻方的变换，及由变换所生成的变换群，并利用变换群对四阶幻方进一步分类。1四阶幻方的8阶变换群和32阶变换群下面给出四阶幻方的数学模型：定义1设A=(aid)。。。(1≤i≤4，1≤．『≤4)含数集Ⅳ={1，2，3，⋯，42)的全部元素，若满足：4∑口。=∑口；J=∑口i．，=∑口¨+-√=34，则称为四阶幻方。假设A=(口“)。。。是一个四阶幻方，A的第f行，第_『列的位置用(i，J)来表示，那么S={(i,j)：1≤f≤4，1

8、≤J≤4是