四阶幻方的一个构造方法.pdf

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1、第33卷第1期佳木斯大学学报(自然科学版)Vo1．33No．12015年01月JournalofJiamusiUniversity(NaturalScienceEdition)Jan．2015文章编号：1008—1402(2015)01-0145—02四阶幻方的一个构造方法①智婕，李旭东2(1．兰州商学院信息工程学院。甘肃兰州730000；2．兰州城市学院数学学院，甘肃兰州730070)摘要：幻方是一个古老而有趣的数学问题，本文将幻方表示成矩阵的形式，利用定义矩阵上的运算，给出了四阶幻方的一个简便的构造方法，

2、并举例说明该方法的便捷之处．关键词：四阶幻方；构造；方法中图分类号：O112文献标识码：A在第4行，通过+2置换得第1行，取第1行的倒排0引言列放在第2行、第4行的倒排列放在第3行，这样便幻方，又称纵横图，在n×／／,的方格里既不重复得到一个4阶方阵A=(a)，将A旋转9O度或一又无遗漏地添上1，2，3，⋯，n这n个连续自然数，90度得到方阵B=(b)，做方阵A。B=(戈d)，其每数占一格，使每行、每列、每条对角线上的个数中if=4(a一1)+bif，i√=l，2，3，4，贝4A。B就是的和都相等，这样的数表

3、称为／7,阶幻方．著名的九一个幻和为34的4阶幻方，同理B~A也是幻和为34宫图即三阶幻方．幻方因其趣味性和益智性，引起的4阶幻方．了古往今来许多人的迷恋．我国对幻方的研究可以2定理的证明追溯到公元前四世纪，而宋代杨辉、明朝程大位、清朝张潮、保其寿等都做了深入的研究，幻方是我国设a，b，c，d是1，2，3，4的任意一个4级排列，丰富的文化遗产之一．国外著名科学家欧拉、富兰将A旋转90度得到方阵记为，将A旋转一90度得克林等也都喜欢研究幻方．近代的科学研究发现，到方阵记为D，则需验证A。B，B~A，oD，D~A

4、均为幻方同现代数学群论、组合分析等有关．随着电子幻和是34的4阶幻方．事实上，由A，，D的构造过计算机技术的迅速发展，幻方已在程序设计、图论、程知，人工智能、博弈论、组合分析、实验设计、工艺美术cd口badbc等方面得到了新的应用．badcbcadA=，B=幻方在数学王国里扮演着一个神秘的角色，从dcbacbda小学生的智力测验题到中学生的课外思考题，无处abcdd口cb不有幻方的谜影．至今日幻方仍然是一个古老有趣bdad的问题．本文将给出四阶幻方的一个简便的构造方adbcD=法．为讨论方便，以下将幻方表示成

5、矩阵的形式．dacbcbda1主要结果于是，定理任取数码1，2，3，4的一个4级排列放C。。+ab．+6A。B=d—+Ca．．+d①收稿日期：2014—12—16基金项目：甘肃省教育厅高等学校科研项目(2014A一069)．作者简介：智婕(1977一)，女，河南偃师人，兰州商学院副教授，硕士146佳木斯大学学报(自然科学版)2015血8—1)+c4(d一1)+d4(b一1)+口4(c一1)86—1)+b4(c—I)+口4(a一1)+d4(d一1)B=c一1)+d4(b一1)+c4(d一1)+64(一1)34d

6、一1)+口4(0—1)+b4(c一1)+c4(b一1)A+b4(d一1)+c4(口一1)+口12D4(b一1)DA+口4(口一1)+d4(d一1)+64(c一1)=：／，。。．．．。。．．．．．。。．．／，．。．．．．．，．．．．．。。．．．_一／+d_4一，(c—I)+a4(b一1)-I-c4(a一1)44444444／L／／，／／+c／L4，L(6—1)+b4(c一1)+d6d口6DC4(d一1)1，，，．．2．．．．一一一一一一一一lll1l1+c14L(C一1)+d4(口一1)+口4(d一1)、，、，

7、、、J))))43+64(d一1)+口4(b一1)+d4(c一1)+d4(口一1)+c4(c一1)+b214(b一1)34+口4(b一1)+b4(d一1)+c4(o一1)、、●●，对这四个矩阵，容易验证，每行、每列以及每条长对角线上4个数的和均为4(口+b+c+d一4)+口+b+c+d=5(口+b+c+d)一16=5X10—16=34即A。，，A。D，D~A都是幻和为34的4阶幻834于JB，，-．。．．．6．．．．。．．．．．．．．3，，．．．．．．．．．．．。．方．=是5n注：对每一个4级排列，都可得到4

8、个4阶幻n453B342l方，因此运用以上方法对24个4级排列总共可得297182l3424×4=96个4阶幻方．8●m3举例]＼、●●●●●●●●8=+已知+幻方++++++++++2／，，．．。．l。。．．．。．3。。．．．4A6C口dC606C0d、，，●●，●●●-、＼＼r●，4●●●●3●●●／21、、、l●●●●●●●-^＼43l2A：lI3234l941243412ln：=j82AB=