三阶幻方问题的代数解法.pdf

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1、929卷第2期沈阳航空航天大学学报V01．29No．22012年4月JournalofShenyangAerospaceUniversityApr．2012文章编号：2095—1248(2012)02—0089一04三阶幻方问题的代数解法郑长波1。李晓毅2(1．大连海洋大学辽宁大连116300；2．沈阳师范大学数学与系统科学学院，沈阳110034)摘要：介绍了中国古代数学家甄鸾和杨辉关于三阶幻方的一个构造方法。用线性代数的方法构造三阶幻方约束方程组时，当自由未知量分别取1，2，3，⋯，9时，对应的方程组共有56组整数解，为了找出幻方的全部解，需要确定自由未知量取值的限制条件，

2、由此对方程组中的自由未知量的取值进行了分类探讨，进而求出三阶幻方的全部解。利用线性代数的方法去探求三阶幻方的解法种数显然不是最简捷的，但却有完备的理论做保证。此外，提供了一个如何利用线性代数知识来解决实际问题的实例，并简介了三阶幻方所具有的奇妙的特性。关键词：幻方；约束方程组；整数解中图分类号：0157文献标志码：Adoi：10．3969／j．issn．2095—1248．2012．02．021Algebraapproachtosolvethird--ordermagicsquarequestionZHENGChang—b01。LIxiao．yi2(1，DalianFishe

3、riesUniversity，DalinnLiaonin9116300：2．SchoolofMathematicsandSystemScience，ShenyangNormalU-aiversity，Shenyang110034)Abstract：Thispaperintroducesaconstructorofthird—ordermagicsquareputforwardbythetwoancientChinesemathematiciansYangHuiandZhenLuan．56groupsofintegersolutionscorrespondtheequation

4、sintotal，whenthethird—ordermagicsquareconstraintequationsareconstructedinalinearalgebrawayandthefreedomunknownsa化takenby1，2，3，⋯，9respectively．Tofindallsolutionsinthemagicsquare，restrictionsofthefreP丑omunknownvaluesaretobeascertained．Thus．thevaluesofthefreedomunknownintheequationsalediscusse

5、dinclassificationstocalculateallthesolutionsofthird—ordermagicsquare．Themethodofexploringthesolutionsofthird—·ordermagicsquarebyusinglinearalgebramethodsisobvi--ouslynotthesimplest，however，itcarlbeguaranteedbyacompletetheory．Inaddition，thearticlepro-videsanexampleofhowtoUselinearalgebratoso

6、lvepracticalproblemsandbrieflyintroducesthewonder-fulpropertiesofthethird—ordermagicsquare．．Keywords：magicsquare；constraintequations；integersolutions世界上公认幻方为中国人所发明，早期称九宫算，也叫三行纵横图或洛书。文献记载最早见于汉朝徐岳所著《数术记遗》，说的是在三行三列九个格子的排列图中，填入lq这9个数(每格一个数)，使其位于各行列及对角线上的三个数之和相等。北周的甄鸾在该书的注释中给出的解为“九官者，即二、四为肩，六、八为

7、足，左三右七，戴九覆一，五居其中”，见图1所示。在图l中所有行、列及对角线上的三数之和都是15。近年来，在安徽考古发掘出土了被认为是世界最早的三阶幻方实物——太乙九宫占盘，据考证，距今已有2180多年。我国古代数学家对幻方问题具有深入的研究。宋代数学家杨辉在其所著的《续方摘奇算法》中，给出了三阶幻方的构造方收藕13期：201l一嘶一24基金项目：国家自然科学基金资助项目(项且编号：10471096)；辽宁省高等学校科学研究项目(项目编号：20060842)作者简介：郑长波(1954一)．男，辽宁大连人，