幻方解法整理归纳

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时间:2018-11-14

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1、在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”,又叫“纵横图”。1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)(如图一:以五阶幻方为例)奇数阶幻方n为奇数(n=3,5,7,9,11……)(n=2×k+1,k=1,2,3,4,5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样:把1(或最小的数)放在第一行正中;按以下规律排列剩下的n×n-1个数:(1)每一个数放在前一个数的右上一格;(2)如果这个数所要放的格

2、已经超出了顶行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列;(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行;(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内;(5)如果这个数所要放的格已经有数填入,处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向,象是在爬楼梯。口诀:1居首行正中央,依次右上莫相忘上出格时往下放,右出格时往左放.排重便往自下放,右上出格一个样图一2、单偶数阶幻方——分区调换法(如图二:以六阶幻方为例)①把阶的幻方均分成4个同样的小幻方A、B、C、D(如图

3、二)图二(注意A、B、C、D的相对位置不能改变,因为为奇数,所以A、B、C、D均为奇数阶幻方)②用连续摆数法在A中填入构成幻方,同理,在B中填入、在C中填入、在D中填入均构成幻方()(如图三)图三(因为为奇数,所以A、B、C、D均为奇数阶幻方,必然可以用连续摆数法构造幻方)③在A的中间一行上从左侧的第二列起取个方格,在其它行上则从左侧第一列起取个方格,把这些方格中的数与D中相应方格中的数字对调(如图四):图四不管是几阶幻方,在A中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始;因为当时,,所以本例中只取了一个数)④在A中从最右一列起在各行中取个方格,把这

4、些方格中的数与D中相应方格中的数字对调。(如图五)图五3、双偶数阶幻方——轴对称法(如图三:以八阶幻方为例)①把阶的幻方均分成4个同样的小幻方(如图六)图六②在左上角的小幻方每行每列中任取一半的方格加上底色(以便于区分),然后以轴对称的形式在其它三个小幻方中标出方格(如图七)图七(正确理解“每行每列中任取一半的方格”。本例中因为,所以在每个小幻方的每行每列上均取2个方格)③从左上角的方格开始,按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入阶幻方,遇到有底色的方格跳过,计数,这样填满了没有底色的方格(如图八)图八(从左上角开始按从左到右、

5、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入阶幻方,当遇到有底色的方格时空出不填即可)④从右下角的方格开始,按从右到左、从下到上的次序将剩下的数从小到大依次填入阶幻方,这样填满了有底色的方格(如图九)图九即为所求幻方。图九或者对于n=4k阶幻方,我们先把数字按顺序填写。写好后,按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数,一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线,象制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字换成互补的数字,就构成幻方。(图中红色数字可用中心对称得到)

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