一类具有可转移变量核的Hilbert型奇异重积分算子的有界性与范数及其应用.pdf

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1、第31卷第3期工程数学学报v01．31N。．32014~06JqCHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSJune2014doi：10．3969／j．issn．1005—3085．2014．03．008文章编号：1005—3085(2014)03．0387-12一类具有可转移变量核的Hilbert型奇异重积分算子的有界性与范数及其应用水洪勇f广东财经大学数学与统计学院，广州5103201摘要：研究Hilbert型奇异积分算子的重要问题之一，是讨论其积分核具有何种特征时算子是有界的，并进一步讨论算子的范数表达式．本文定义了含有两个参数的可转移变量函数

2、，一般地，这是一种非齐次函数．本文利用权系数方法及实分析技巧，讨论了此类函数作为积分核的Hilbert型重奇异积分算子的有界性，得到其范数表达式及相应的参数条件，所得结果包含了诸多文献中的结论．最后，文中讨论了理论结果的应用．关键词：可转移变量函数核；Hilbert型奇异重积分算子；有界算子；算子范数分类号：AMS(2000)26D15中图分类号：O178文献标识码：A1预备知识与引理设+===1(P>1)，f∈L(0，+oo)，g∈L(0，+∞)，有著名的Hilbert积分不等式【1】厂0J厂o佃X+Y捌一sin(I~I"／p)II～lIp一llq，(、1)其等价式为佃(佃d)p

3、()Ilfll~．(2)(，)(／o悃则(2)式可写为一IIfll面’由于常数因子7r是最佳的，因而的(p，p)型范数为71"IITII=sup=f6LP(0P811117[．(0，’删+)IIJll／，收稿日期：2012—09—17．作者简介：洪勇(1959年10月生)，男，教授．研究方向：调和分析和解析不等式基金项目：广东省自然科学基金(S2012010010376)．工程数学学报第31卷Hilbert奇异积分算子的研究是分析学中的重要课题，在许多领域中都有广泛应用．对于齐次核的情形，已取得众多研究成果[。一。】，但非齐次核情形的研究并不多．本文将引入可转移变量函数新概念，并研

4、究具有此类积分核的Hilbert型重积分算子的有界性与(P，P)型范数．最后讨论其应用．设n∈，P>1，w(x)非负可测，引入如下记号：R=X=(Xl，X2，⋯，X)：Xl>0，X2>0，⋯，>0)，1IlI=(Xl++⋯+Xn)，OL>0，pn)>0：II／11===(㈤d)吉<+∞}．定义1设2≠0，若函数g(u，V)具有形式G(uAV12)，则称(，V)是具有参数(1，2)的可转移变量函数．显然，可转移变量函数具有如下性质：对于t>0，有K(tu，)：(，)，(钆，t)=K(t~u，)．一般地，可转移变量函数是一种非齐次函数，并且可转移变量函数是广泛存在的．因而研究具有可转移

5、变量函数核的重积分算子具有重要意义．设K(u，V)非负可测，我们将研究如下的Hilbert型奇异重积分算子(Tf)(y)=t，／(，)f(x)dx，Y∈．(3)R引理1[10]设>0，ai>0，OLi>0，i=1，2，⋯，n，(乱)是可测函数．那么-／⋯，。，．一，>。；詈。+詈。。+．．．+詈f＼f＼!al1／+(毒)。+··。+(乏)“)×一：。一⋯一dx1dx2⋯dx：!2_竺；毛厂()+嚣十⋯+一d，12⋯r(++⋯+)o一’其中r(t1是Gamma函数．引理2设1+1=1(p>1)，>0，n∈，12>0，0与6是常数，对￡>0，非负可测函数(，V)满足K(tu，)：(，t

6、)，(，t)=K(t~u，)，那么，有：第3期洪勇：一类具有可转移变量核的Hilbert型奇异重积分算子的有界性与范数及其应用3891)成立如下等式r()(4)t，／K(1Ixll，Ilyil。)I：印dy=一rfn)‘n厂(1，)un-bp-1d，Rd0r()／K(Iixii，Ilyii。)lixii；dx=鲁‘⋯q厂(，1)un-aq-1(5)JR0[,n-1r(詈)J02)若16p一2aq=仡(12)，则+。。=1(aq)(，)一口q一d钆_。：。厂佃(1，u)undu=2Wl(bp)(6)d0证明11由引理1，有)K(II曲=(1，in2~inin。)ilH~"bPd=li

7、mf⋯．++。。一肌咖．。×(，ii圳拳r[()。+()“+⋯+()]丢)×[r(()。+()+⋯+())吉]曲d⋯d厂(1，(1))(r)-bPu詈一dr_++。。”l。l)0(1，ill多t)t一bp一1dt+。。r几(吉)(1，iill拳t)t一6p—ldtOLnr()r()(n厂佃(1，)un-bp-1出o~n-1r(詈)d0故(4)式成立．同理可证(5)式也成立．390工程数学学报第31卷2)因为一A2aq=n(1一2)，故(礼一aq)一1=佗一bp一1．于