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1、第31卷第5期吉林化工学院学报Vo】.3lNo52014年5月JOUf/NALOFJILININS'I、ITUTEOFCHEMICALTECHN0L0GYMay.2014文章编号:1007—2853(2014)05-0091-03限制李超代数环面秩的一个重要性质高孝成,姚艳(黑河学院数学系,黑龙江黑河164300)摘要:限制李代数基本理论在李代数研究中具有重要地位.本文根据限制李代数理论,给出了限制李超代数的环面及环面秩的定义,并利用限制包络证明'r关于限制李超代数环面秩的一个重要性质.关键词:限制李超代数;环面
2、;环面秩;限制包络中图分类号:17B05;17B50文献标志码:A李超代数是在李代数的基础上发展起来的一性的.本文中,z表示整数集,没有特殊说明时,F个代数学分支,而李代数这一概念是由挪威数学表示特征为素数P>2的域.家M.S.Iie在19世纪后期研究连续变换群时引进的.拓扑学中的李超代数通常是特征P域上的1预备知识李超代数(即模李超代数),尤其是有限域上李超代数J.目前,模李代数与模李超代数都已经在一般的域F上:有相对完整的结构理论.在1977年,李超代数理定义1.1设是域F上的线性空间,A称作论的奠基人之一,
3、著名的数学家V.G.Kae在有限F上的代数,如果除了数乘和A的加法运算外,/1维、特征零情形,给出了单寡超代数的完全分类,还有一个乘法运算(用表示与Y的乘积,V,1998年,Kac又完成了特征零代数闭域上无限维Y∈A),并且满足以下条件:单的线性紧致李超代数的分类,无限维线性紧(i)(Y+)=xy+。,(Y+。)=yx+,致李超代数也有完全分类;典型模李代数和代(ii)A(xy)=(A)Y=(Ay),V,Y,Z∈A,数群的表示J,特征零典型李超代数、另外李超VA∈代数的表示也都取得了长足的发展.这样自然要如果代数
4、是F上的有限维线性空间,则称考虑到素特征域上的有限维单李超代数(模李超为F上的有限维代数.代数)的情况,即模李超代数的分类问题.如果代数A的乘法满足结合律,则称A为结限制李代数的概念在模李代数理论中起着非合代数;如果代数/4的乘法满足交换律,则称A为常重要的作用,有限维模李代数的分类和表示首交换代数.先是基于限制李代数上的.因此,将模李代数如果代数的乘法满足以下条件:限制理论平行推广到模李超代数中是十分必要(i)=0,V∈A,的,见文献“.首先,每个模李超代数都可以嵌(ii)(yz)+y(黜)+z(xy):0,V
5、,Y,z∈入到它的一个包络中,从而利用映射研究结构问A,(Jacobi等式),题.其次,容易证明模李超代数的任何有限维不可则称A为李代数.约表示均具有唯一性特征.这样,我们可以象模李定义1.2”设L:L6①是域上的一代数情形一样对表示问题进行深入细致的研究.个z一阶化代数,中的乘法用方括号[,]表示,对于模李代数而言,环面、环面秩是限制理论中非对于L中任意齐次元素Ⅱ,b,C,若以下条件被满常重要的概念,将它们推广‘到限制李超代数中进足:行研究,对于限制李超代数理论的作用也是基础(1)[n,b]=一(一1)[Ⅱ,b
6、](超反收稿日期:2014-04—10基金项目:黑龙江省教育厅科学技术研究项目(12511349)作者简介:高孝成(1979.),男,黑龙江绥棱县人,黑河学院讲师,硕士,主要从事李代数、李超代数等方面的研究吉林化工学院学报2014正对称),,[]是由生成的£的限制李子代数.(2)(一1)[0,[b,c]]+(一1)‘[6,在李超代数中,也有类似李代数限制包络的[c,n]]+(一1)[c,[0,6]]=0(超结论.Jacobi一恒等式)引理1.2每一个有限维李超代数都有一个则称是一个李超代数.有限维的限制包络.在素
7、特征的域F上:定义1.3设L=,J:o为素特征域F上2环面秩的李超代数,若映射p]:,J:一L:满足以下条件:(ada)=ada在上都成立(1)下面,设是有限维李超代数.定义2.1设71是限制李超代数(L,[P])的(Ⅱ)=n(2)P—l一个子代数,若满足:(a+6)=a+b+∑Si(,6)(3)(1)T是£的AbelP一子代数,其中S(n,6)是由如下公式唯一确定的:(3)对于任意∈T,为,J的P一半单元,即P一1ad(no+bo1)(Ⅱo1)=∑iS(0,存在∈F,使得=I6)⑧则称为L的一个环面.这里,(z
8、,6∈$,$∈F,贝0称(,J,[P])为定义2.2设K是李超代数,J的子代数,(G,限制李超代数.[P],/)为L的P一包络,K=(z())r,是注记1.1限制李超代数L=Lo中,P一映K/Kf1nC(G)的环面,称射[P]:—L满足:李代数(L,[P])是限制的,tr(K,L)=max{diml’}偶部,J到奇部£的伴随表示是限制的,则称(L,为在中的环面秩,tr(L
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