2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课件新人教A版选修2_2.ppt

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1、2.3数学归纳法目标定位重点难点1.了解归纳法的原理、证明步骤及变形特点2.会用数学归纳法证明有关数学命题重点：归纳法的原理、证明步骤及变形特点难点：数学归纳法证明有关几何问题、整除问题和归纳猜想的问题1．数学归纳法适用于证明一个与__________有关的命题．2．数学归纳法的步骤(1)(归纳奠基)_______________________________；(2)(归纳递推)____________________________________________________________；

2、(3)结论：由(1)(2)可知命题对一切n≥n0的自然数都成立．正整数n证明当n取第一个值n0时命题成立假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立3．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6【答案】C用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将

3、待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1证明目标的表达式变形．1．用数学归纳法证明：当n∈N*时，(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2n－1)(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3)．证明：(1)当n＝1时，左式＝1·22－2·32＝－14，右式＝－1·2·7＝－14.等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)，则(1·22

4、－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[(4k2＋12k＋9)－(4k2＋6k＋2)]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)(6k＋7)＝－(k＋1)(4k2＋15k＋14)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)＝－(k＋1)[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]．说明当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)，可知等式对一切n∈N*都成立．不等式的

5、证明用数学归纳法证明不等式的关键（1）验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n＞k(k为正整数)，则n0＝k＋1.（2）用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前n个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论.（3）用数学归纳法证明不等式，由n＝k时成立证n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.【例3】用数学归纳法证明x2n－1＋

6、y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．【解题探究】利用数学归纳法证明时，要注意“n＝k”与“n＝k＋1”之间项的关系．证明：(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．证明整除问题(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k

7、－1)＋y2k－1(y2－x2)．∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．由(1)(2)，可知原命题成立．用数学归纳法证明整除问题时，要注意将式子拆成几部分的和、差或乘积形式，然后分析每一个部分能否整除．3．用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除．证明：(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除．那

8、么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)(2)，知命题成立．【例4】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ>0.(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通项公式并加以证明．【解题探究】根据条件求出a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式，然后