基本初等函数--复合函数.doc

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1、一、复合函数函数y=log2x是对数函数，那么函数y=log2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设y=log2u，u=2x-1，因此函数y=log2(2x-1)是由对数函数y=log2u和一次函数u=2x-1经过复合而成的。一般地，如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。  二、复合函数。定理：设y=f(u)，u=g(x)，已知u=g(x)在[a，b]上是单调增(减)函数，y=f(u)在区间[g(a)，g(b

2、)](或[g(b)，g(a)]上是单调增(减)函数，那么复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上一定是单调函数，并有以下结论：同增异减u=g(x)增函数增函数减函数减函数y=f(u)增函数减函数增函数减函数y=f[g(x)]增函数减函数减函数增函数判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。例1.讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调

3、性。解：函数定义域为R。令u=x2-4x+3，y=0.8u。指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，∴函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。例2.讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。解：显然函数定义域为(0，+∞)。令u=log2x，y=u2+u∵u=log2x在(0，+∞)上是增函数，y=u2+u在(-∞，-]上

4、是减函数，在[-，+∞)上是增函数(注意(-∞，-]及[-，+∞)是u的取值范围)因为u≤-log2x≤-0＜x≤，(u≥-log2x≥-x≥)所以y=(log2x)2+log2x在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数。