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1、数学分析期末考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件是（）A连续B有界C无间断点D有原函数2、函数f(x)是奇函数，且在[-a,a]上可积，则（）Aa2aBa0f(x)dxf(x)dxf(x)dxa0aaaa2f(a)Cf(x)dx2f(x)dxDf(x)dxa0a3、下列广义积分中，收敛的积分是（）111AdxB1dx0xxC11dx0sinxdxDx314、级数an收敛是an部分和有界且liman0的（）n1n1nA充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件5、下列说法正确的是（）Aan和
2、bn收敛，anbn也收敛Ban和bn发散，(anbn)发散n1n1n1n1n1n1Can收敛和bn发散，(anbn)发散Dan收敛和bn发散，n1n1n1n1n1anbn发散n16、an(x)在[a，b]收敛于a（x），且an（x）可导，则（）n1Aan'(x)a'(x)Ba（x）可导n1bbCan(x)dxa(x)dxDan(x)一致收敛，则a（x）必连续aan1n17、下列命题正确的是（）1Aan(x)在[a，b]绝对收敛必一致收敛n1Ban(x)在[a，b]一致收敛必绝对收敛n1C若lim
3、an(x)
4、0，则an(x)在[a，b]必绝对收敛nn1Dan(x)在[a，b]条件收敛必收敛n1
5、8、(1)n1x2n1的和函数为n02n1AexBsinxCln(1x)Dcosx9、函数zln(xy)的定义域是（）A(x,y)
6、x0,y0BC(x,y)
7、xy0D(x,y)
8、yx(x,y)
9、xy010、函数f(x,y)在（x0,,y0）偏可导与可微的关系（）A可导必可微B可导必不可微C可微必可导D可微不一定可导二、计算题：（每小题6分，共30分）9221)dx、f(x)dx4，求xf(2x1012、计算1x2dx022x3、计算1xn的和函数并求(1)nn1nn1n4、设z32xzy0，求zx(1,1,1)5、求limx2y2y2x0xy0三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）2x
10、2y21、讨论f(x,y)xyx2y2(x,y)(0,0)在（0，0）点的二阶混合偏导数0(x,y)(0,0)2、讨论(1)n12nsin2nx的敛散性n2n四、证明题：（每小题10分，共30分）1、设f1(x)在[a，b]上Riemann可积，fn1(x)b)，证明函数列{fn(x)}在[a，b]上一致收敛于0fn(x)dx(n1,2,axxy02ey，证明它满足方程、设zzzxy3、设f(x)在[a，xf(sinx)dxxsinxdxb]连续，证明20f(sinx)dx，并求001cos2x3参考答案一、1、B2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C2xf(2x21)dx1
11、221)d(2x21)（3分）令u2x21，二、1、f(2x0120221)dx92（3分）xf(2xf(u)du0211A1A2、dx=limd(1x)limarctan(1x)（6分）202022xxA1(1x)A043、解：令f(x)=1xn，由于级数的收敛域[1,1)（2分），f'(x)=xn111，n1nn1xf(x)=x1dtln(1x)（2分），令x1，得(1)nln201tn1n4、解：两边对x求导3z2zx2z2xzx0（3分）zx2z2x（2分）z23z2x(1,1,1)（1分）5、解：0
12、x2y2
13、x（5分）limx2y0（1分）x2y2y2x0xy0由于x=-2，x=2
14、时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）yx44x2y2y2x2y20（2分）三、1、解、fx(x,y)(x2y2)20x2y20fy(x,y)xx44x2y2y2x2y20(4分）(x2y2)2x2y2002zfx(0,y)fx(0,0)1(0,0)limyxy0y2zlimfy(x,0)fy(0,0)(0,0)01（6分）xyxx2、解：由于limn
15、(1)n12nsin2nx
16、2sin2x（3分），即2sin2x1级数绝对收敛nn2sin2x1条件收敛，2sin2x1级数发散（7分）所以原级数发散（2分）4四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：因为f1(x)在[a，b]
17、上可积，故在[a，b]上有界，即M0，使得f1(x)M(x[a,b])，（3分）从而f2(x)x
18、f1(t)
19、dtM(xa)一般来说，a若对n有fn(x)M(xa)n1M(ba)n1)，所以（5分）则fn(x)(n(n1)!(n1)!{fn(x)}在[a，b]上一致收敛于0（2分）aTaf(tT)d(tT)af(t)dt（2）（4分）Tf(x)dxxTt00将式（2）代入（1）得证（2分）xxyz
