生产函数拟合.docx

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1、题目：增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系。在科学技术发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的。用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系Q(K,L)。经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：Q(K,L)=aKαLβ，0<α,β<1（*）式中α,β，a要由

2、经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（*）中的参数α,β，a。表2tQKLtQKL19001.051.041.0519011.181.061.0819021.291.161.1819031.301.221.2219041.301.271.1719051.421.371.3019061.501.441.3919071.521.531.4719081.461.571.3119091.602.051.4319101.692.511.5819

3、111.812.631.5919121.932.741.6619131.952.821.6819142.013.241.6519152.003.241.6219162.093.611.8619171.964.101.9319182.204.361.9619192.124.771.9519202.164.751.9019212.084.541.5819222.244.541.6719232.564.581.8219242.344.581.6019252.454.581.6119262.584.541.64提示：由于（

4、*）式对参数α,β，a是非线性的，因此，可以有两种方式进行拟合，一是直接使用MATLAB软件中的曲线或曲面拟合命令。另一个是将非线性函数转化成线性函数的形式，使用线性函数拟合。解：方法一问题分析：由于线性函数拟合求解较为方便准确，因此首先考虑线性函数拟合。问题处理：由题设可知：Q(K,L)=aKαLβ，0<α,β<1对等式两边进行取对数运算，得：Ln(Q)=Ln(a)+α*Ln(K)+β*Ln(L)，0<α,β<1可以令b0=Ln（a），b1=α，b2=β，x1=Ln(K)，x2=Ln(L)，y=Ln(Q)那么远函

5、数就变成了：y=b0+b1*x1+b2*x2,0

6、27,1);%每年的资金x1=[1.041.061.161.221.271.371.441.531.572.052.512.632.742.823.243.243.614.104.364.774.754.544.544.584.584.584.54]';%每年的劳动力x2=[1.051.081.181.221.171.301.391.471.311.431.581.591.661.681.651.621.861.931.961.951.901.581.671.821.601.611.64]';%进行线性处理x3=l

7、og(x1);x4=log(x2);x=[x0x3x4];y=log(z);%数据拟合[B,BINT]=regress(y,x)%作图gridon;plot3(x3,x4,y,'*');holdon;t1=-1:0.1:2;t2=t1;[X,Y]=meshgrid(t1,t2);Z=B(1)+B(2).*X+B(3).*Y;mesh(X,Y,Z);由以上程序得到下列结果：B=0.16260.41530.0619BINT=0.08860.23670.29870.5318-0.29590.4196由程序运算结果可知：a

8、=exp（b0）=exp（B(1)）=1.1766α=B(2)=0.4153β=B(3)=0.0619其中α、β的值符合题目的要求；而且，从图像的拟合效果来看，最终拟合结果还是满意的。此外，从程序的结果还看出，在置信度为95%的前提下，各个参数可以变动的区间由BINT的行向量表示出来了。方法二问题分析：根据函数的表达式，利用观测到的结果直接进行数据拟合，从而