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1、函数逼近与曲线拟合3.1函数逼近的基本概念3.1.1函数逼近与函数空间在数值计算中常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这些都涉及到在区间上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题.上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种.本章讨论的函数逼近，是指“对函数类A中给定的函数畑，记作了⑶前，要求在另一类简单的便于计算的函数类E中求函数卜㈤^月，使比）与川创的误差在某种度量意义下最小”•函数类A通常是区间［见对上的连续函数，记作口&同，称为连续函数空间，而函数类E通常为n次多项式，有理
2、函数或分段低次多项式等.函数逼近是数值分析的基础，为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将为样的集合称为空间.例如将所有实n维向量组成集合，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间，记作，称为n维向量空间•类似地，对次数不超过n（n为正整数）的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域尺上的一个线性空间，用表示，称为多项式空间•所有定义在皿对上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R上的线性空间，记作併/引.类似地，记为具有p阶的连续导数的函数
3、空间.定义1设集合S是数域P上的线性空间，元素九…不E*，如果存在不全为零的数%■■心"，使得,(3.1.1)则称匸尸―线性相关.否则，若等式（3.1.1）只对S-'--成立，则称V血线性无关.若线性空间S是由n个线性无关元素%…宀生成的，即对鬼亦都有则心■「忑称为空间S的一组基，记为£二爭妙口…円;，并称空间S为n维空间，系数迅称为x在基切…入下的坐标，记作（现「…鸟），如果S中有无限个线性无关元素眄「「心，…，则称S为无限维线性空间.F面考察次数不超过n次的多项式集合码，其元素表示为尸仗）=術+&［末片卅(3.1.2)它由严+1个系数（晞心…心）唯一确定.8・；线性无关，它是H浜的一组
4、基,故H厂学删入&…小，且（％%・・・耳）是戸⑷的坐标向量，码是十［维的.对连续函数炖詢词，它不能用有限个线性无关的函数表示，故血⑻是无限维的，但它的任一元素/匕疋°［门也］均可用有限维的戸匚）匡氏逼近，使误差餾
5、/(Q-p&r)
6、（「为任给的小正数），这就是著名的Weierstrass定理.定理1（Weierstrass）设/（对丘供“］，则对任何，总存在一个代数多项式旳），使
7、加）-卫⑴IL"在
8、
9、心〔上一致成立.这个定理已在“数学分析”中证明过•这里需要说明的是在许多证明方法中，伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明.他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式w^)=Z/——
10、(3.1.3)其中其中"丿划，并证明了帆“心”）在刖上一致成立;若I」：訂在」上'阶导数连续，则hm殆）CM）二严心）这不但证明了定理1,而且由（3.1.3）给出了了⑴的一个逼近多项式.它与拉格朗日插值多项式工壮(齐)=1Jt-0lt-0很相似，对耳g），当伽=1时也有关系式(3.1.4)这只要在恒等式就可得到•但这里当"［0」］时还有刊⑴>0,于是t-0U0是有界的，因而只要对任意To」］成立，则爲（》）
11、兰果彗”0）巴丹伝）
12、兰（5有界，故是稳定的•至于拉格朗日多项式,由于*无界,有良好的因而不能保证高阶插值的稳定性与收敛性•相比之下，多项式■'■■■■■■■-逼近性质，但它收敛太慢，
13、比三次样条插值效果差得多，实际中很少被使用.更一般地，可用一组在''Ir'：上线性无关的函数集合来逼近，元素祕Re①二昭泅、州（力冷（或…凤（甥匸总，表示为祕M=嘟处⑴+%竹⑴十…十碍必（R(3.1.5)函数逼近问题就是对任何c［a,b］，在子空间e
14、中找一个元素几〕丘①伽—心）在某种意义下最小.3.1.1范数与赋范线性空间为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数定义，它是尺氏空间中向量长度概念的直接推广.定义2.1.2设'：为线性空间，‘’人，若存在唯一实数H,满足条件：(1)正定性：2)当且仅当
15、^=0时，(3)M=o；(4)齐次性:冏十制1,(5)[xR
16、；(6)三角不(7)等
17、式：卜+训纳+恻，(8)2".则称M为线性空间怡上的范数，别与M—起称为赋范线性空间，记为
18、x.例如，在尺界上的向量ygrr&或，三种常用范数为IHL二盟旳称为罐数或最大范数kl=Zlxi-称为礎数iUIkL=fiNay称为2范数类似地对连续函数空间卜卜＜1，若「二h…可定义三种常用范数如下:叽氓尸(咖尸,称为说数称为1范数称为疏数可以验证这样定义的范数均满足定义3.1.2中的三个条件.3.1.3内积与内积空间ITt在线
