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1、§8.1数据拟合本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函数的问题.上章提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似标准是在插值点处误差为零.但在实际应用中,有时不要求具体某些点误差为零,而要求考虑整体的误差限制,这就引出了拟合和逼近的概念.对离散型函数(即数表形式的函数)考虑数据较多的情况.若将每个点都当作插值节点,则插值函数是一个次数很高的多项式,比较复杂.而且由于龙格振荡现象,这个高次的插值多项式可能并不接近原函数.同时由于数表中的点一般是由观察测量所得,往往带有随机误差,要求近似函数过所有的点既不现实也不必要.第8章函数逼近与曲线拟合本章讨论的函数逼近，是指“对函数类A中给
2、定的函数f(x)，记作f(x)∈A，要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函数p(x)∈B，使p(x)与f(x)的误差在某种度量意义下最小”.函数类A通常是区间[a,b]上的连续函数，记作C[a,b]，称为函数逼近空间;而函数B通常为n次多项式,有理函数或分段低次多项式等.为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识.数学上常把在各种集合中引入某一些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。例1所有实n维向量集合，按向量的加法和数乘构成实数域R上的线性空间---Rn,称为n维向量空间.例2对次数不超过n的（n为正整数）实系数多项式
3、全体，按多项式加法和数乘构成数域R上的多项式线性空间--Hn,称为多项式空间.例3所有定义在[a,b]集合上的连续函数全体，按函数的加法和数乘构成数域R上的连续函数线性空间–C[a,b],称为连续函数空间.类似地记Cp[a,b]为具有p阶连续导数的函数空间.则称x1,x2,…,xn线性相关，否则称x1,x2,…,xn线性无关，即只有当a1=a2=…=an=0时等式(1.1)才成立.定义1设集合S是数域P上的线性空间，元素x1,x2,…,xn∈S，如果存在不全为零的数a1,a2,…,an∈P，使得则x1,…,xn称为空间S的一组基,记为S=span{x1,…,xn},并称空间S为
4、n维空间，系数a1,…,an为x在基x1,…,xn下的坐标，记作(a1,…,an)，如果S中有无限多个线性无关元素x1,…,xn,…，则称S为无限维线性空间.若线性空间S是由n个线性无关元素x1,…,xn生成的，即对任意x∈S，都有它由n+1个系数(a0,a1,…,an)唯一确定.1,x,…,xn线性无关，它是Hn的一组基，故集合Hn=span{1,x,…,xn}，且(a0,a1,…,an)是p(x)的坐标向量，Hn是n+1维的.下面考虑次数不超过n实系数多项式集合Hn，其元素p(x)∈Hn表示为其中ε为任意给的小正数，即精度要求.这就是下面著名的魏尔斯特拉斯（Weierstr
5、ass）定理.对连续函数f(x)∈C[a,b]，它不能用有限个线性无关的函数表示，故C[a,b]是无限维的，但它的任一元素f(x)∈C[a,b]均可用有限维的p(x)∈Hn逼近，使误差在[a,b]上一致成立.定理1设f(x)∈C[a,b]，则对任何ε>0，总存在一个代数多项式p(x)，使由(1.1)式给出的Bn(f,x)也是f(x)在[0,1]上的一个逼近多项式，但它收敛太慢，实际中很少使用.更一般函数逼近的概念：最常用的度量标准：(一)一致逼近以函数f(x)和p(x)的最大误差：作为度量误差f(x)－p(x)的“大小”的标准在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近(二)平
6、方逼近：采用作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。8.2正交多项式正交多项式是数值计算中的重要工具，这里只介绍正交多项式的基本概念、某些性质和构造方法。离散情形的正交多项式用于下节的数据拟合，连续情形的正交多项式用于生成最佳平方逼近多项式和下章的高斯型求积公式的构造。它们在数值分析的其他领域中也有不少应用。定义设有点集{xi}i=0,1,…,m，函数f(x)和g(x)在离散意义下的内积定义为(1)其中i>0为给定的权数。在离散意义下，函数f(x)的2-范数定义为(2)有了内积，就可以定义正交性。若函数f(x)和g(x)的内积(f,g)=0，则称两者正交
7、。离散点集上的正交多项式若多项式组{k(x)}k=0,…n在离散意义下的内积满足(3)则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集{xi}i=0,1,…,m上的带权{i}i=0,…m的正交多项式序列.下面给出离散点上正交多项式的构造方法.给定点集{xi}i=0,1,…,m和权数{i}i=0,…m，并且点集{xi}i=0,1,…,m中至少有n+1个互异，则由下列三项递推公式（4）给出的多项式序列是正交多项式序列，其中（5）三项递推公式（4）是构造正交多项式的简单公式，此外，还有其他
