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1、专题数 列考向一 等差数列、等比数列的基本量计算(保分题型考点)【题组通关】1.(2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则a5=________,Sn的最小值为________.【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,S5=5a1+d=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,Sn=na1+,当n=4或5时,Sn最小,为-10.答案:0-103.(2019·重庆二模)已知数列{an},an>0,它的前n项和为Sn,且2a2是4a1与a3的等差中
2、项.若{an}为等比数列,a1=1,则S7=________.【解析】设数列{an}的公比为q,依题意有a1=1,4a2=4a1+a3,即4q=4+q2,故q=2,则S7==127.答案:127【拓展提升】1.两组重要公式(1)等差数列:①Sn=;②am=an+(m-n)d;③若第m,n,p项成等差数列,则2an=am+ap.(2)等比数列:①Sn=②am=an·qm-n;③若第m,n,p项成等比数列,则=am·ap.2.等差(比)数列的运算技巧①在进行等差(比)数列项与和的运算时,若条件和结论间的联系不明显,则均可化成关于a1
3、和d(q)的方程组求解;②要注意消元法及整体计算,以减少计算量.考向二 等差数列、等比数列的性质(保分题型考点)【题组通关】1.等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是()A.20B.22C.24D.-8【解析】选C.因为a1+3a8+a15=5a8=120,所以a8=24,所以2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.2.(2019·银川一模)已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2-+2a12=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b3b11等于()A.16B.8C.4D.2【
4、解析】选A.由等差数列性质得a2+a12=2a7,所以4a7-=0,又a7≠0,所以a7=4,b7=4,由等比数列性质得b3b11==16.3.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a1·a6·a11=3,b1+b6+b11=7π,则的值是()【解析】选D.{an}是等比数列,{bn}是等差数列,且a1·a6·a11=3,b1+b6+b11=7π,所以,3b6=7π,所以a6=,b6=,所以=4.(2019·西安一模)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于()A.8
5、0B.30C.26D.16【解析】选B.由等比数列性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…仍为等比数列,设S2n=x,则2,x-2,14-x成等比数列.由(x-2)2=2×(14-x),解得x=6或x=-4(舍去).所以S2n=6,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…是首项为2,公比为2的等比数列.又因为S3n=14,所以S4n=30.5.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大.【解析】因为数列{an}是等差数列,且a
6、7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0.所以当n=8时,其前n项和最大.答案:86.在由正数组成的等比数列{an}中,若,则sin的值为()【解析】选B.因为a3a4a5=3π=,所以a4=,即log3a1+log3a2+…+log3a7=log3(a1a2…a7)=所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=.【题型建模】1.项数是关键:求等差、等比数列的基本量或代数式的值分析条件中项的下标,即项数的关系寻找两项或多项之间的关系选择恰当性质.2.等差数列Sn的最值
7、:若则Sn有最大值,若则Sn有最小值.【拓展提升】等差数列、等比数列常用性质等差数列等比数列性质(1)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq.(2)an=am+(n-m)d.(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差数列.(4)前2n-1项和S2n-1=(2n-1)an.(1)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;(2)an=amqn-m;(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等比数列(Sm≠0).【变式训练】已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*
8、.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1==n,故数列{an}的通项公式为an=n.(2)由(1)知an=n,故bn=2n+(-1)n
