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1、第二章控制系统的数学模型2.1引言2.2输入输出(I/O)模型2.3框图模型2.4控制系统的状态空间模型2.5I/O模型与状态空间模型之间的转换2.6循序渐进设计示例2.1引言数学模型：描述系统的一个数学结构系统(动态)特性的数学表达式控制系统建模：建立原系统物理模型的数学模型。性质不同的系统用不同的数学工具描述其模型线性定常系统：常系数线性常微分方程线性时变系统：变系数线性常微分方程非线性系统：非线性常微分方程分布参数系统：偏微分方程离散系统：差分方程线性控制系统描述方法输入输出描述法状态空间描述法(外部描述法)(内部描述法)转换输入输出模型状态空
2、间模型线性控制系统数学模型线性控制系统输入输出数学模型输入输出模型时域模型复、频域模型图示模型微分方程传递函数、频率特性方框图、信号流图建立控制系统数学模型的方法分析法根据系统所遵循的基本定律列写系统数学模型。实验法利用系统的输入—输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。输入输出黑盒灰盒(部分了解的系统)：可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。数学模型的合理性：在模型的简化性和分析结果的准确性之间，作折衷考虑。线性系统的特点：叠加性齐次性返回2.2输入输出(I/O)模型线性定常系统输
3、入/输出(I/O)模型：用系统的输入、输出信号或其变换式所表示的数学模型。当I/O为：时域信号r(t),y(t)——微分方程复数域信号R(s),Y(s)——传递函数频域信号R(jω),Y(jω)——频率特性2.2.1时域中的数学模型——微分方程2.2.1.1描写线性定常系统的微分方程dndn−1dqnyt)(+qn−1ty)(+L+q1yt)(+q0yt)(nn−1dtdtdtmm−1ddd=pmtr)(+pm−1tr)(+L+p1tr)(+p0tr)(mm−1dtdtdtqi(i=,1,0L,n),pj(j=,1,0L,m),n≥m若m>n，我们就
4、说这是物理不可实现的系统。用分析法建立系统微分方程的一般步骤：(1)确定输入，输出;(2)根据系统所遵循的基本定律，列写各环节的微分方程;(3)消去中间变量，求得输出/输入关系；(4)化为标准形式。例1:质量-弹簧-阻尼器系统dy(t)解:F1=−ky(t)F2=−bdtd2y(t)∑F=M根据牛顿定律有dt2d2y(t)r()t+F1+F2=Mdt2dy(t)d2y(t)r()t−ky()t−b=Mdtdt2d2y()t()dytM+b+ky()t=r()tdt2dt例2：试求RLC串联电路的微分方程。以电压U为输入量，电压U为输出量。0CU()t
5、0iUc(t)解:UL()t+UR(t)+UC(t)=U0(t)di(t)L+()tiR+UC()t=U0()tdt2()()ductduct()()LC+RC+UCt=U0t2dtdt2.2.1.2物理系统的线性近似y设系统输入x(t)，输出y(t)，y=f(x)为y非线性关系。0x若y=f(x)在工作点处连续可x0微，则展开成泰勒级数为：2df1df2y=f(x)=f(x0)+(x−x0)+(x−x0)+L2dx2!dxx=x0x=x0若Δx=x-x很小，忽略二次以上高次项，有：0dfy−y=(x−x)00dxx=x0线性模型的增量形式Δy=KΔ
6、x线性模型的习惯表示形式y=Kx类似的对于多元函数关系ygxx=(,,,)Lx12n在工作点xx,,,Lx处的线性近似方程可以表示成1200n0∂gygxx=+(,,,)Lx(xx−)1200n0∂x1101xx=0∂∂gg+−()xx+L+−()xx2200nn∂∂xx2xx=nxx=002.2.2复数域中的数学模型——传递函数2.2.2.12.2.2.1线性定常系统的线性定常系统的传递函数传递函数对于描写线性定常系统的微分方程dndn−1dqny(t)+qn−1y(t)+L+q1y(t)+q0y(t)=dtndtn−1dtdmdm−1dpmr(t
7、)+pm−1r(t)+L+p1r(t)+p0r(t)mm−1dtdtdtn≥m取拉氏变换（零初始条件）(nn−1)()qns+qn−1s+L+q1s+q0Ys=()psmpsm−1pspR()sm+m−1+L+1+0def()mm−1Ysps+ps+L+ps+p()mm−110Gs==()nn−1Rsqs+qs+L+qs+q零初始条件nn−110L[y(t)]G(s)=L[r(t)]传递函数：在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与系统输入的拉氏变换之比。传函的图示传递函数的含义1）反映系统的输入量与输出量之间的传递关系。2）反映系统数学模型的阶次。系统
8、r(t)y(t)时域：y(t)=g(t)()∗rts域(复数域)：Y(s)=G(s)R(s)G(s)(=L[
