dq法求解fgmlevinson梁的静态弯曲问题_张静华

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1、第31卷第3期华东交通大学学报Vol.31No.32014年6月JournalofEastChinaJiaotongUniversityJun.，2014文章编号：1005-0523（2014）03-0080-08DQ法求解FGMLevinson梁的静态弯曲问题12张静华，魏军扬（1.扬州大学建筑工程与科学学院，江苏扬州225127；2.中船第九设计研究院工程有限公司，上海200063）摘要：基于高阶剪切变形理论，采用微分求积法（DQM）研究了功能梯度材料Levinson梁的静态弯曲解，并与Timoshenko梁的弯曲解进行了比较。考虑功能梯度梁的材料性质沿厚度方向按

2、照幂函数连续变化，建立了梁的无量纲控制方程，给出了均布载荷作用下，长细比为10时，相同尺寸的梁在3种常见的边界条件下功能梯度Levinson梁的无量纲挠度随梯度指数p的变化规律以及不同边界条件下功能梯度材料Levinson梁的无量纲挠度随长细比的变化规律。关键词：功能梯度材料；Levinson梁；Timoshenko梁；弯曲解；微分求积法中图分类号：TU311文献标志码：A功能梯度材料是一种新型的非均匀复合材料。它是通过特定的材料制备工艺将不同性能的两种或两种以上材料按一定的设计规律组合起来，使材料组分按梯度连续变化，从而达到消除材料的物理性能的不连续性以使内部界面消

3、失。功能梯度材料性能的不均匀性为力学分析带来了很大的困难，许多均匀材料中［1］引入和发展的力学概念、理论、计算方案和实验手段已不再适用于功能梯度材料，需要进行探索和创新。因此，其力学行为研究也成为众多材料科学、物理学和力学工作者非常感兴趣的研究领域，是当前国内外关注的前沿课题。基于不同的理论，研究者们采用了多种解析和数值方法对功能梯度材料结构的弯曲、屈曲和振动响应进行研究。其中大量的研究成果反映了材料性质的横向梯度变化特性对功能梯度材料梁宏观力学行为的［2］影响。基于经典理论，李世荣和刘平利用解析法研究了材料性质沿横向连续变化的功能梯度Euler-Ber⁃noulli

4、梁的静态弯曲、屈曲和自由振动问题，文献［3］利用DQ法求解了两端简支变截面功能梯度梁的弯曲［4］问题。基于一阶剪切理论，Li引入辅助函数研究了梯度功能材料Timoshenko梁的静态弯曲和横向振动，［5］Li等利用数学模型的相似性和控制方程中载荷的等效性研究了功能梯度Timoshenko梁与均匀Euler-Ber⁃noulli梁静态解之间的相似转换关系，文献［6］采用微分求积法（DQM）分析了层合梁自由振动问题。马连［7］生等研究Euler梁理论、Timoshenko一阶梁理论和Reddy高阶梁理论之间在特征值问题的相关性，将求解微分方程的特征值问题转化为代数方程的求

5、解。基于经典理论和一阶剪切变形理论，文献［8］运用微分求［9］积法（DQM）研究了功能梯度材料矩形板的线性弯曲问题。基于经典板理论，李世荣等采用解析方法研究了轴对称条件下FGM圆板的弯曲、屈曲和自由振动问题，推导出了FGM圆板与对应均匀圆板的挠度、临界载荷和固有频率之间的相似转换关系。利用经典板理论解和一阶剪切变形板理论解之间的对应关系，［10］Reddy等讨论了功能梯度复合材料圆形和环形薄板的对称弯曲问题，推导出了各种边界下FGM圆板轴［11］对称弯曲解析解。基于高阶剪切变形板理论，杨杰，沈惠申采用DQ法和Galerkin法相结合方法研究了在均匀变化的温度场内功能梯

6、度材料矩形中厚板的横向弯曲问题。_________________________________收稿日期：2014-05-12基金项目：作者简介：张静华（1987—），女，研究方向为功能梯度材料结构力学。作者简介：导师简介：李世荣（1957—），教授，博士生导师，主要研究方向为固体力学，结构非线性分析，材料结构力学。第3期张静华，等：DQ法求解FGMLevinson梁的静态弯曲问题811问题的数学模型1.1基本方程采用高阶剪切变形理论来分析功能梯度材料Levinson梁的静态弯曲问题。考虑长度为l，宽为b高为h的矩形截面功能梯度材料梁，其材料性质沿厚度方向连续变化。

7、设轴向坐标为x，通过横截面的几何形心；横向坐标为z，其原点在几何中面（见图1）。梁的位移场可表示为3ædw0(x)öüu(x,z)=u0(x)-zφ(x)-αzç+φ(x)÷ïèdxøý（1）ïw(x,z)=w0(x)þ其中：u0(x)为几何中面内任一点的轴向位移；w0(x)为挠度位移；u(x,z)和w(x,z)分别为梁内任一点的轴向位移和竖向位移；φ为横截面转角，系数α=4/(3h2)。图1功能梯度梁的几何描述Fig.1Thegeometricdescriptionoffunctionally对于材料性质横向非均匀变化的功能梯度材料梁，由grade