弯曲变形静不定梁

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1、第九章弯曲变形静不定梁§9-1概述一、工程实践中的弯曲变形问题在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。1.挠曲线二、弯曲变形的基本概念挠曲线

2、2.挠度和转角规定：向上的挠度为正逆时针的转角为正挠曲线方程：转角方程：§9-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、梁的挠曲线近似微分方程式曲线的曲率为梁的挠曲线近似微分方程:二、用积分法求梁的变形式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。解：由边界条件：得：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并

3、确定θmax和vmax。解：由边界条件：得：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。解：由边界条件：得：由对称条件：得：AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。解：由对称性，只考虑半跨梁ACD由连续条件：由边界条件：由对称条件：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角

4、和最大挠度分别为：§9-3用叠加法计算梁的变形梁的刚度计算一、用叠加法计算梁的变形在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。例：用叠加法求解：例：已知梁的为常数，今欲使梁的挠曲线在处出现一拐点，则比值为多少？解：由梁的挠曲线近似微分方程知，在梁挠曲线的拐点处有：从弯矩图可以看出：例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬

5、臂梁Ⅰ、Ⅱ如图示，Ⅱ梁的最大挠度是Ⅰ梁的多少倍？例：简支梁在整个梁上受均布载荷q作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？例：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。解：例：若图示梁B端的转角θB=0，则力偶矩ｍ等于多少？解：例：求图示梁C、D两点的挠度vC、vD。解：例：求图示梁B、D两处的挠度vB、vD。解：例：求图示梁C点的挠度vC。解：例：用叠加法求图示变截面梁B、C截面的挠度vB、vC。解：例：用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。解：例：用叠加法求图示梁跨中的挠度vC和B点的转角θB（ｋ为弹

6、簧系数）。解：弹簧缩短量例：梁AB，横截面为边长为a的正方形，弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁中点的挠度。例：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度。求C端挠度vC。解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为(3)C点总挠度为例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。解：二、梁的刚度计算刚度条件：[v]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。例：图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,W

7、z=237cm3，[v]=l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷[P]，并校核强度。解：由刚度条件§9-4提高弯曲刚度的措施影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。一、增大梁的抗弯刚度EI二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置§9-5用变形比较法解静不定梁一、静不定梁的基本概念用多余反力代替多余约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定

8、梁的相当系统。二、用变形比较法解静不定梁例：求图示静不定梁的支反力。解：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：另解：将支座A对截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：例：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求(1)二梁接触处的压力；(2)加固前后AB梁最大弯矩的比值；(3)加固前后B点挠度的比值。解：(1)变形协调条件为：(2)例：梁ABC由AB、BC两段组成，两段梁的EI相同。试绘制剪力图与