资源描述：
《2.5 导数与微分习题课》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章内容小结主要内容一、导数的概念及计算方法二、微分的概念及计算方法暨南大学电气信息学院苏保河主讲一、导数的概念y′=f′(x)=limΔy=limf(x)−f(x0)x=x00Δx→0Δxx→x0x−x0f(x0+Δx)−f(x0)f(x0+h)−f(x0)=lim=limΔx→0Δxh→0h左导数：fx()00+Δ−xfx()fxfx()−()0fx′()=lim=lim−−−xx−Δ→x0Δxxx→00右导数：fx()00+Δ−xfx()fxfx()−()0fx′()lim==lim+++xx−Δ→x0Δxxx→00
2、定理：f′(x0)=af−′(x0)=f+′(x0)=a暨南大学电气信息学院苏保河主讲导数的几何意义yy=f(x)f′(x0)表示曲线y=f(x)在点TCM(x0,y0)的切线斜率.ox0xy−y=f′xx−xα切线方程:0(0)(0)1法线方程:y−y0=−(x−x0)(f′(x0)≠0)f′(x0)函数的可导性与连续性的关系:f(x)在点x0处可导f(x)在点x0处连续f(x)在区间I可导f(x)在区间I连续暨南大学电气信息学院苏保河主讲⎧−xx,0<,例1已知求fx()=⎨f'(0)及f'(0)，2−+⎩xx,0≥,又
3、f'(0)是否存在？2fxf()−(0)−−x0解:(1)f'−(0)=lim=lim=−1,−0x→0−xx→0x−22fxf()−(0)x−0f'(0)=lim=lim=0.+++xx→0x−0x→0(2)∵f'(0)≠f'(0),∴f'(0)不存在.−+暨南大学电气信息学院苏保河主讲f(x)例2.设f(x)在x=2处连续,且lim=3,x→2x−2求f′(2).f(x)解.Qf(2)=limf(x)=lim[⋅(x−2)]=0,x→2x→2(x−2)f(x)−f(2)f(x)∴f′(2)=lim=lim=3.x→2x−
4、2x→2x−2暨南大学电气信息学院苏保河主讲⎧2,x<0,⎪例3.设fx()==⎨0,x0,f'x()[].D⎪⎩1,x>0,(A)不存在,xx∈(−∞+∞,);(B)存在,∈−∞+∞(,);(C)0=,(,)xx∈−∞+∞;(D)0=,(,∈−∞0)(U0,)+∞.Qx<==0:()2,()0,fxf'xx>==0:()1,()0,fxf'xfxf()−(0)20−f'(0)=lim=lim=∞,−−x−0−−x→0x→0x0∴f'(0)不存在.暨南大学电气信息学院苏保河主讲2f(sinx+cosx)例4.若f(1)=0且
5、f′(1)存在,求lim.xx→0(e−1)tanx2f(sinx+cosx)解:原式=lim2x→0x2lim(sinx+cosx)=1且f(1)=0,f'(1)∃x→0联想到凑导数f'(1)的定义f(1+sin2x+cosx−1)2−f(1)sinx+cosx−1=lim⋅22x→0sinx+cosx−1x2sinxcosx−1=f′(1)⋅(lim+lim)22x→0xx→0x221xx/2=f′(1)⋅(lim−lim)=f′(1).x→0x2x→0x22暨南大学电气信息学院苏保河主讲二、导数的求法1.常数和基本初等
6、函数的导数(C)′=0(xμ)′=μ−1μx(sinx)′=cosx(cosx)′=−sinx22(tanx)′=secx(cotx)′=−cscx(secx)′=secxtanx(cscx)′=−cscxcotxxxxx(a)′=alna(e)′=e11(logax)′=(lnx)′=xlnax11(arcsinx)′=(arccosx)′=−221−x1−x11(arctanx)′=(arccotx)′=−221+x1+x暨南大学电气信息学院苏保河主讲2.四则运算求导法则(1)[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(
7、x);(2)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);u(x)u'(x)v(x)−u(x)v'(x)(3)[]'=(v(x)≠0).v(x)v2(x)3.反函数的求导法则−11dy1[f(x)]'=或=f'(y)dxdxdy4.复合函数求导法则设y=f(u),u=ϕ(x)可导，则dydydu=⋅=f′(u)⋅ϕ′(x)dxdudx暨南大学电气信息学院苏保河主讲5.高阶导数的运算法则设函数u=u(x)及v=v(x)都有n阶导数,则1)(u±v)(n)(n)(n)=u±v2)(Cu)(n)(n)=Cu(C为
8、常数)n规定(n)Cku(n−k)v(k)(f(0)=f)3)(uv)=∑nk=0莱布尼兹(Leibniz)公式暨南大学电气信息学院苏保河主讲4)高阶导数的求法:(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)利用莱布尼兹公式n规定(n)k(n−k)(k)(0)(uv)=∑Cnuv(f=f)k=0u
