D2导数与微分习题课.pdf

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1、习题课第二章导数与微分一、导数和微分的概念及应用二、导数和微分的求法机动目录上页下页返回结束一、导数和微分的概念及应用•导数:当时,为右导数当时,为左导数•微分:•关系:可导可微(思考P124题1)机动目录上页下页返回结束•应用:(1)利用导数定义解决的问题1)推出三个最基本的导数公式及求导法则(C)0;(lnx)1;(sinx)cosxx其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题.(2)用导数定义求极限(3)微分在近似计算与误差估计中的应用机动目录上页下页返回结束例1.设f(x0)存在,求

2、2f(xx(x))f(x)lim00.x0x解:22f(x0x(x))f(x0)x(x)原式=lim2x0x(x)xf(x)0机动目录上页下页返回结束2f(sinxcosx)例2.若f(1)0且f(1)存在,求lim.xx0(e1)tanx2f(sinxcosx)解:原式=lim2x0x且联想到凑导数的定义式f(1sin2xcosx1)2f(1)sinxcosx1lim22x0sinxcosx1x11f(1)(1)f(1)22机动目录上页下页返回结束f(x)例3.设f(x)在x2

3、处连续,且lim3,x2x2求f(2).f(x)解:f(2)limf(x)lim[(x2)]0x2x2(x2)f(x)f(2)f(2)limx2x2f(x)lim3x2x2思考:P124题2机动目录上页下页返回结束例4.设试确定常数a,b使f(x)处处可导,并求axb,x1解:f(x)1(ab1),x122x,x1x1时,f(x)a;x1时，f(x)2x.利用f(x)在x1处可导，得1abf(1)f(1)f(1)ab12(1)即f(1)f(1)a2机动目录上页下页返回结束axb,x1f(

4、x)1(ab1),x122x,x1x1时,f(x)a,x1时，f(x)2xa2,b1,f(1)22,x1f(x)2x,x1判别:是否为连续函数?机动目录上页下页返回结束例5.设处的连续性及可导性.解:所以在处连续.又f(0)0即在处可导.机动目录上页下页返回结束二、导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数微分法转化(3)参数方程求导法极坐标方程求导(4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)(5)高阶导数的求法逐次求导归纳;间

5、接求导法;利用莱布尼兹公式.机动目录上页下页返回结束例6.设其中可微,解:dysinxd(sinx)sinxxeeed(sine)sinexesinxd(sinx)sinxcosxd(x)eeesinxxxxe(cosxsineecose)dx机动目录上页下页返回结束例7.且存在,问怎样选择可使下述函数在处有二阶导数.2axbxc,x0f(x)g(x),x0解:由题设f(0)存在,因此1)利用在连续,即f(0)f(0)f(0),得cg(0)2)利用f(0)f(0),而g(x)g(0)f(0)limg(0)x0x0得2(a

6、xbxc)g(0)f(0)limbx0x0机动目录上页下页返回结束2axbxc,x0f(x)g(x),x0cg(0)bg(0)3)利用f(0)f(0),而g(x)g(0)f(0)limg(0)x0x0(2axb)bf(0)lim2ax0x01得ag(0)2机动目录上页下页返回结束2xt2t例8.设由方程2tysiny1(01)确定函数yy(x),求解:方程组两边对t求导,得dxdx2t22(t1)dtdtdydydy2t2tcosy0dt

7、dtdt1cosydydyt故dtdxdx(t1)(1cosy)dt机动目录上页下页返回结束2ddyd(t)dydt(dx)dt(t1)(1cosy)dx2dx2(t1)dtdy(1cosy)t(t1)sinydt322(t1)(1cosy)22(1cosy)2t(t1)siny332(t1)(1cosy)机动目录上页下页返回结束作业P1244;5(1);6;