回到定义去——任意角三角函数定义的应用.pdf

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1、悟道解题遭沽__¨≈回到定义去任意角三角函数定义的应用陆金著名数学教育家波利亚曾经说过“我们出三角函数线的概念．笔者通过研究发现，解任何题目的方法必定依赖于我们的知识三角函数的定义在其他一些问题中也有着状态”．而我们的知识状态中最原始的部分广泛的应用．便是定义．因此波利亚强调在解题时要“回首先。我们回顾一下任意角的三角函数到定义去”，因为“回到定义是一项重要的思的定义：维活动”．深刻理解定义，可以抓住问题的实如图1，P(x，)是角a终边上的任意一质，从而找到解决问题的有效途径．点(非原点0)，即是射线OP与轴正方三角函数是高中数学的重要知识，也是向所成的角，我们规定：sind一，COSa一

2、高考数学的必考知识．在教材中，任意角的三角函数的定义主要被用来判断三角函数詈，tana一詈，其中r—lOPl一干．值的正负、证明同角三角函数的关系以及引从而点P的坐标可用a表示为P(rcosOL，③若>8，则(n+7)[口一(1一)]>4(“+3)>0，即口<一2或n>6(舍去)；0，即01<1一，z或a1>一7，故al>一7．②若>2，即n>4，则_厂(2)<0，即4厶由①、②、③可知一7(a<一6．一2口+a4-3<0，即a>7(可取)．显然，几何法比代数法简洁清晰．(3)若a％O，则z>2时，g(z)

3、。)上g()一adg一2a，若存在zo∈R，使得f(xo)有解．<0，g(x。)7(舍去)．(2)若＆>O，则_z<2时，g(z)<0．综上所述，实数a的取值范围是a>7．依题意，不等式厂()

4、①若0<≤2，即O

5、等式二、解决旋转问题例1解下列不等式：(1)sina>COSO／；例2(2012年安徽理科卷)在平面直(2)sin一cOSa>1．角坐标系中，O(o，o)，P(6，8)，将向量按分析本题可以通过三角函数的图逆时针方向旋转挈后，得向量，则点Q的象、辅助角公式来解决，但是利用三角函数的定义更加直观便捷．坐标为——．解(1)不妨设的终边与单位圆的解如图5，设以z轴非负半轴为始交点为P(，)，JOPl一1．边，射线0P为终边的角为0，则以射线0Q由任意角的三角函数的定义，可得sina为终边的角为+．===，COSa—，又由sinO~COSd，可得>z，如图3，可知不等式的解集应为{alT+ek丌0

6、+孥1，即Y一√3一1>0，如图4，可知不等式的解集应为图5号+2是

7、￡、悟道解题通沽“—誊霉誊誊囊由三角函数的定义，可得c。s一一∈[一，Jr)一la√"／gz~：_+f_YV∈[一，)．+詈，sin一8一4，则c。s(+)一c。s·V，2,／3㈣c。s一sinn一一，sin(+)一s砌+cosn一一．一一'-"-2／D，／故点Q的坐标为(1o×(一71x。／2~／，1。×，图6(一))，1[1(-7~-，一)．四、解决圆锥曲线的焦半径问题

8、评析利用任意角的三角函数的定义以及结论1和结论2，可以非常简便地解决例4如图7，已知椭圆xzy2—平面中的旋转问题．如果旋转中心不在原T1(“>点，则可以利用结论2解决·6>O)的左、右焦点分别为F，F，焦距为2，P为其上一点，FP，FP与z轴正方向所成三、解决代数最值问题的角分别为a，，求lPFl，lPF：l(分别用a，口表示)．例3已知点P的坐标(z，Y)满足JIVIz—y