含参二次方程根的分布问题-论文.pdf

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1、2014年第6期中学数学月刊·59·含参二次方程根的分布问题戈晨曦(江苏省苏州市陆慕高级中学215131)二次函数是高中数学的重要内容，而含有参数形就可以了，图象如图1，解得4≤≤或一≤并涉及函数的零点或根的分布问题往往成为教与学的难点．本文结合实例探析含有参数的二次方程的m≤一4．根的分布问题．分析2函数Y一优应与Y—z+_兰-，E[一3，问题1已知方程X一z+4—0在[一3，3]0)U(O，3]的图象有两个公共点，故可能得到mE上有解，求实数m的取值范围．分析1把方程左边视为二次函数，即令=z[一，一4)U(

2、4，]这个错误的答案，错误的原因一mx+4，问题就转化为二次函数的图象与z轴有就在于一4或=一4时，有一个交点但却有两个交点的问题．但有几个解，需要讨论：相等的实根．故4≤m≤或一≤m≤一4．①在[一3，3]上有两个解，J如图l，等价条件为

3、／～如果将问题2改为已知方程一mx+4—0在f△≥0，[一3，3]上有两个不同的解，则E[一，一4)Uj一bE[一3，3]，．1『_(4，]．因此，看清问题的实质非常重要．If(-3)≥0，图1问题3已知方程z一mx+4—0在[一3，3JI厂(3)≥0．上有且只有一个解，求实

4、数m的取值范围．解得4≤m≤萼或一萼≤m≤一4．分析1只要考虑问题1分析1的第二种情形②在L一3，3J上有一个JlY就可以了，图象如图2，等价条件为厂(3)，(一3)≤0，但还要检验-厂(3)一O或，(一3)一O时，另一根是否解，如图2，等价条件为f(3)f(-3)≤O(其中也有两＼．／，在[一3，3]内．若在则舍去，若不在则保留(这里的＼-3／

5、O＼检验是非常必要的，不少学生会遗漏)．解得m>解的情形)，解得m≥或m＼。≤一13图2或m<一．．由①②可知mE(一c。，4]U[4，+oo)．分析2函数Y—m应与Y

6、—+_兰_，z∈[一3，分析2分离参数：①当z一0时，一z+4O)U(0，3J的图象有一个公共点，故解得m>5-或≠0，所以z一0不是方程的根．②把方程一mx+4一Oym<一13．变形为—z+_兰_，z∈[一3，盟34如果把问题3中的区间[一3，3]改为(一3，3)，A—3—2～问题有什么变化呢?o)U(o，3J．令Y—z+÷，E23分析1变化为厂(3)厂(一3)<0，但还要检验[一3，0)U(O，3]，画出图象后一，(3)一0或，(一3)一0时，另一根是否在[一3，3]容易发现yE(一。。，一4]U厂旦3内，若

7、在则保留，若不在则舍去．r4，+。。)，所以mE(一c,o，一4]以上结合问题1～3，分别研究了含参二次方程图3U[4，+。。)．在给定区间上有解、有两解以及有一解的情形，利用问题2已知方程z一mx+40在[一3，3j二次函数图象和参数分离两种方法都可以解决这类上有两解，求实数m的取值范围．问题．对这两种方法进行比较，方法1是利用二次函这里要值得注意的两个概念是“根”和“零点”：数的图象和根的分布来处理，方法2是分离参数利当二次方程的△一0的时候，有两个相等的根，但零用图象与图象的交点来处理．方法1给人的感觉是点

8、只有一个．讨论要周全，条件要写到位；方法2给人的感觉则是分析1只要考虑问题1分析1中的第一种情思路比较顺畅，处理起来相对简便．