带有 Hardy 位势的分数阶偏微分方程与积分方程的等价性-论文.pdf

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1、第34卷第7期西安工业大学学报Vo1．34No．72014年7月JournalofXi’anTechnologicalUniversityJu1．2014文章编号：1673—9965(2014)07—0523—03带有Hardy位势的分数阶偏微分方程与积分方程的等价性李冬艳(西北工业大学理学院，西安710129)摘要：在全空间R”中考虑带有Hardy位势的分数阶偏微分方程(P)：‘一△)号(z)一(z)．z∈p()，与对应的积分方程()一fYl—lYldy的【己，()≥oz∈Rn等价性，其中0

2、直接的方法来证明．一旦等价性建立，则对积分方程正解的性质都可以应用到分数阶偏微分方程上面．关键词：分数阶拉普拉斯；等价性；Hardy位势；强解中图号：O175文献标志码：AEquivalenceBetweenaFractionalPartialDifferentialEquationwithHardyTermandanIntegralLIDong—yan(SchoolofNaturalandAppliedSciences，NorthwesternPolytechnicalUniversity，Xi’an710129，China)A

3、bstract：Weconsidertheequivalencebetween1’三∈thefractionalpartialdifferentialequation(P)with～term：，andthec。rresp。ndingintegra1equati。n(z)一∈R”dy，where0

4、thepositivesolutionstoanintegralequationcanbeappliedtothefractionalparticaldifferenceequation(PDE)．Keywords：fractionallaplacian；equivalence；hardyterm；strongsolution全空间R中分数阶拉普拉斯算子是非局部算其中：PV为Cauchy主值；0t为0与2之间的任意子，定义如下形式实数．(一△)号(z)一cPV“(z)一(z)dz近几年，分数阶拉普拉斯算子备受关注．他可⋯32一lR

5、”收稿日期：2014—04—12基金资助：国家自然科学基金资助项目(11271299)；陕西省自然科学基础研究计划项目面上项Ig(2012JM1014)作者简介：李冬艳(1986一)，女，西北工业大学博士研究生，主要研究方向为偏微分方程及应用．E—mail：w408867388w@126．corn．524西安工业大学学报第34卷以解释很多物理现象，比如反常扩散现象，气象学基于等价性定理2的建立和积分方程(3)已有中的准地转流，湍流模型，水波运动，分子动力学以的性质，容易知及相对量子物理学L1等，甚至在金融和概率方推论3设三三=2，

6、“∈是方程(2)的非负强面都有着广泛的应用．由于分数阶拉普拉斯算解，则子的非局部性，经典的拉普拉斯算子的一套经典理1)临界情形P一，则关于原点径向对论都不成立．Caffarelli和SilvestreE。采用了延拓称且单调减．空间维数的方法，将非局部算子转化为局部算子，这种方法比较繁琐，且要求解是有界的．文中证明2)次临界情形1<<，则三0．分数阶偏微分方程与其对应的积分方程的等价性．注：在文献E7]中，为证明推论3中情形1)，基于二者之间的等价性的建立，研究分数阶偏微分需要“EH号(R”)．这里仅需要UE．显然，该方程正解的性质

7、，可以通过积分形式的移动平面法条件更弱．直接研究积分方程正解的性质．为证明定理2，需要以下一些引理．分数阶拉普拉斯算子在Schwartz空间(C。。引理1E。设R”是开集，乱是中的下半速降函数空间)有定义．在Schwartz空间中，它等连续函数且满足价于另一种定义一Fourier变换l(一△)号“(z)三三三0，zE(——△)号“()一ll矗()【U(z)≥0，zER”n表示“的Fourier变换．定义空间贝0“(z)三三=o，zER．一』dz<∞)引理2[9设三三=2，是方程(1)的非负强解，则三c．对于“E，我们在分布意义下定

8、义算子(一△)号，即2定理2的证明<(一△)号“，)一设(z，)是lM(～A)~dx，Ec(Q)．f(一△)GR(z，)一8(x—)，z，EBR(0)lGR(z，)一o，z或EB(o)称UE是方程(P)的解当且仅当(4)j’)(一一的解，B(O)是