在再生核空间中带有积分边值条件的分数阶偏微分方程的近似解-论文.pdf

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1、第30卷哈尔滨师范大学自然科学学报Vo1．30，No．42014第4期NATURALSCIENCESJOURNALOFHARBINN0RMALUNIVERSITY在再生核空间中带有积分边值条件的分数阶偏微分方程的近似解王文佳(哈尔滨师范大学)【摘要】给出一种新方法求解分数阶微分方程，通过建立相应的映射得到一个快速收敛的高精度解．【关键词】再生核；分数阶偏微分方程；积分边值条件{u()Iu()}是[0，T]上的绝对连续实值函0引言数，分数阶偏微分方程正在广泛应用于流体流”()∈L[0，T]，u(0

2、)：0．其内积为：动、金融、控制论等各种领域]．近年来，更多

3、t)+5(，t)U=f(，t，U)UIU(，0)=g()，01u(o，t)+b1(0，t)定理1．1[0，T]，[0，T]均是再生核1l-空间．l=JfpJ()u(x，t)dx+q1()，0定义1．3定义内积空间[0，1]=l。2U(1，t)+b2ux(1，t){“()lu()，()，u()是Eo，1]上的绝对连l【续实值函数，／Z()∈L[0，1]，且aiu(i一1)+=JP2()(，t)dx+q2()．1Ubi“(i一1)一JPi()()dx：0，i=1，2}．其中n(，t)，g()，p()

4、，g(t)，i=1，2，3，4，5，U2=1，2是已知函数，a，b(i=1，2)是给定的常其内积为：(M，)=∑““(0)“’(o)+￡=l量．∈(0，1)，∈(0，2)，∈(0，1)，t∈(0，1)，U(，t)是待求函数．以上分数阶微分方程采J()()dx．(3)J0用Caputo意义下的定义．详见文献[8]．定理1．2函数空间[0，1]是再生核空间．1再生核空间证明设{tt()}：是[0，1]的定义1．1定义内积空间[0，T]=Cauchy列，即收稿Et期：2014—03—27第4期在再生核

5、空间中带有积分边值条件的分数阶偏微分方程的近似解15『I叩～『I。=∑f：(0)一0)I+Jf0l‘()一“()l—二0．因此，∑I0(0)一“(o)l0和Jr0I+‘()一()I0．这些蕴涵着{“：(0)}：(i=0，1，2)和{“，：，，()}。分别是G和[0，1]中的Cauchy列．所以存在唯一的A。∈C和唯一的函数h()∈L[0，1]，满足limIu(0)一AI=0(i=0，1，2)，和limJlu”()一()Idx=0．设g(x)=A。+A。+÷A：2+吉(—)()d，其中A。，A为待

6、定系数，它们由空间两积分条件唯一确定．从而g(x)∈[0，1]，故【IUn()一g()lI=∑I0)一xg“(0)I+Jl“J：，，()一g()ldx=f5c+2m．J(—t)(一())d≤y。卜2．1(o)一AJ。Jn()一^()Jdx一pj(t))dt,x>0．凡∞．所以[0，1]是Hilbert空间．下证其是再生核空间，由文献[9]中定理1．1知只需证对任意的u(x)∈[0，1]，存在正数M(，0)=0,alU(O，)+61l删一，使得Ju(x)J≤CJJu(x)lI．因为u(x)=(0)

7、+f()dx，所以l“”()I≤J“”(0)l+(1，f)+6zl川一1Il“”()ldx≤：()(戈)=ot．rlJI()dx+I(o)I≤Illl，所以I()J≤IⅡ(0)l+JI”()Idx≤，1II()ldx+lM(0)I≤2llIl，故I()l≤lu(o)I+II()ldx≤JI()Idx+Iu(o)l≤3ljMIJ．从而(“()，Ry())=∑m(0“(i一1)+令()=Ou()+()Ou十2dxdbi(一1)一JPi()())+“”()()I～)()(u，如此问题()R：(戈)l+

8、()R：()I一16哈尔滨师范大学自然科学学报2014年第3O卷(1)在空间(D)中就被转化成如下形式参考文献Lu(，t)=F(，t，M)，[1]MeersehaertMM，BensonD，SchemerHP，eta1．Stochasticsolutionofspace—timefractionaldiffusionequations．Physu(x，0)=0，a1u(O，t)+b1(0，t)Rev，2002，E65：1103—1106．一J．(m[2]BensonDA，WheatcraftSW