数值分析期末测试试题与答案(B).doc

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1、期末考试试卷（A卷）2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分123456得分评阅人一、判断题（每小题2分，共10分）1.用计算机求时，应按照从小到大的顺序相加。（）2.为了减少误差,应将表达式改写为进行计算。（）3.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）4.采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（）5.用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）二、填空题（每空2分，共36分）1.已知数a的有效数为0.01，则它的绝

2、对误差限为________，相对误差限为_________.2.设则_____，______，_____.3.已知则,.4.为使求积公式的代数精度尽量高，应使，，，此时公式具有次的代数精度。5.阶方阵A的谱半径与它的任意一种范数的关系是.6.用迭代法解线性方程组时，使迭代公式产生的向量序列收敛的充分必要条件是.7.使用消元法解线性方程组时，系数矩阵可以分解为下三角矩阵13和上三角矩阵的乘积，即若采用高斯消元法解，其中，则_______________，______________；若使用克劳特消元法解，则____；若使用平方根方法解，则与的大小关系为_____（选填：

3、>，<，=，不一定）。1.以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题的数值解，其迭代公式为___________________________.三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）1.以为初值用牛顿迭代法求方程在区间内的根，要求（1）证明用牛顿法解此方程是收敛的；（2）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算计算结果取到小数点后4位）。131.给定线性方程组（1）分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式；（2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。2.已知函数在如下节点处的函数值-10121

4、430（1）建立以上数据的差分表；（2）根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式，并计算的近似值；（3）采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。131.已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。x-1012y1250131.已知函数在以下节点处的函数值，利用差商表求和的近似值。x134y2182.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列常微分方程的数值解。13四、（8分）已知n+1个数据点，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。13期末考试答案及评分标准（A卷）200

5、7学年第二学期考试科目：数值分析一、判断题：（每小题2分，共10分）1.×2.√3.×4.×5.×二、填空题：（每空2分，共36分）1.或，2.3.4.5.6.7.8.或三、解答题（第1～4小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分）1.（1）证明：，由于a)b)c)即在上不变号，d)对于初值，满足所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。………………………………………4分（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为13………………………………………2分取初值进行迭代，得………………………………………1分………………………………………1分1.解：（1）Jacobi迭代公式为……………

6、………………2分Gauss-Seidel迭代公式为……………………………2分（2）Jacobi迭代矩阵的特征方程为，展开得，即，从而得，（或由单调性易判断必有一个大于1的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1，所以Jacobi迭代法发散。……………………………2分Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程为，展开得，解得迭代矩阵的谱半径小于1，所以Gauss-Seidel迭代法收敛。……………………………2分2.解：（1）建立差分表13………………………………………2分（2）建立牛顿后插公式为则所求近似值为………………………………………3分（3）根据前三个节点建立

7、牛顿后插公式为则根据事后误差估计法故截断误差………………………………………3分1.解：设所求二次最小平方逼近多项式为根据已知数据，得13……………………………2分则……………………………1分建立法方程组为……………………………2分解得……………………………1分从而得所求一次最小平方逼近多项式为……………………………1分1.解：设为已知节点数据的插值二次多项式。构造如下差商表：一阶差商二阶差商……………………………2分因为二次多项式的二阶差商为常数，又是的插值函数，故有……………………………2分而，因此得13，……………………………1分由于，从而得……