用同伦方法求解一类半无限规划问题

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1、第48卷第5期吉林大学学报(理学版)Vo1．48No．52010年9月JournalofJilinUniversity(ScienceEdition)Sep2010用同伦方法求解一类半无限规划问题苏孟龙，赵立芹。，吕显瑞(1．洛阳师范学院数学学院，河南洛阳471000；2．吉林大学数学学院，长春130012；3．吉林大学学报编辑部，长春130021)摘要：给出一种求解半无限规划问题的同伦内点方法，在适当的条件下，构造性地证明了连接内部任意给定点与半无限规划的解同伦路径的存在性，从而构建了可数值实现的全局收敛性算法．关键词：半无限规划；同伦方法；全局收敛中图分类号：0221

2、．2文献标志码：A文章编号：1671-5489(2010)05-0743-06SolvingaClassofSemi-infiniteProgrammingProblembyHomotopyMethodSUMeng．1ongI，-，ZHAOLi—qin，L0Xian．rui(1．CollegeofMathematics，LuoyangNormalUniversity，Luoyang471000，HenanProvince，China；2．CollegeofMathemat~s，JilinUniversity，Changchun130012，China；3．Editoria

3、lDepartmentofJournalofJilinUniversity，Changchun130021，China)Abstract：Ahomotopyinteriorpointmethodwasproposedtosolveaclassofsemi—infiniteprogrammingproblem．Undersomeproperconditions，weobtainedtheconstructiveproofoftheexistenceofthehomotopypathwhichconnectsanygivenpointinXwiththesolutionoft

4、hesemi—infiniteprogrammingproblem，andhenceconstructedanimplementablegloballyconvergentalgorithm．Keywords：semi—infiniteprogramming；homotopymethod；globallyconvergence1引言半无限优化问题实质上是具有无穷多约束的规划问题：min-厂()S．t．X∈X，(1．1)其中：X={∈R：g(x，Y)≤0，Y∈Y}，y={Y∈R：ci(Y)≤0，=1，2，⋯，q}R为·给定的紧的无穷指标集；f：R一尺，g：R×R，ci：R-

5、--*R(j=1，2，⋯，g)为二次连续可微的实值函数．如果y是有限集，则问题(1．1)即为通常意义下的非线性规划问题．半无限优化问题应用于许多领域，如控制系统设计、分散系统的资源配置、信号处理中的滤波器设计等．文献[1-2]研究了半无限规划理论和数值方法；文献[3_4]研究了半无限优化问题的数值求解．目前，求解半无限优化问题的数值方法主要分为两类：离散化方法和基于简化技巧的方法．在第收稿日期：2009·10-27．作者简介：苏孟龙(1975一)，男，汉族，博士，讲师，从事运筹学与控制论的研究，E-mail：mlsulynu@163．con．基金项目：国家自然科学基金(批

6、准号：10601019)、河南省基础与前沿技术研究项目(批准号：092300410187)、河南省教育厅自然科学研究项目(批准号：2009Bl10015)和洛阳师范学院省部级以上项目培育基金(批准号：2008．PYJJ-O12)．吉林大学学报(理学版)第48卷一种方法中，主要用序列有限子集{}逼近无限集合l，，在集合Xk={∈R：g(x，Y)≤0，Y∈}上求解)的极值点，当一∞时，也收敛于问题(1．1)的解．第二种方法基于简化技巧在每步迭代中需要计算外部子问题的所有局部极小值点．而在计算中求解所有局部极小值点很困难而且计算成本较高[32．为了克服上述两种方法的不足，可以考

7、虑由另一种方法求解问题(1．1)．首先令y()={Y∈y：g(，J，)=0}．根据文献[5]，如果是问题(1．1)的局部极小值点，则在推广的M．F约束规格(即在点∈X处，存在向量h∈R，使得对所有的∈Y()，有g(，Y)。h<0成立)下，存在p个正数和P个向量Y∈Y(x)，使得问题(1．1)的K—K—T系统成立：vf(x)+∑MV~g(x，Y)=0，(1．2)g(x，Y)≤0，Vy∈Y，(1．3)Y‘∈y()，>0，V=1，2，⋯，p，(1．4)其中P≤n．如果点∈X满足系统(1．2)一(1．4)，则称是问题(1．1)的稳定点