应用等价无穷小方法分析问题一例

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1、V01．13，NO．5高等数学研究Sept．，2010STUDIESINC()LLEGEMATHEMATICS47应用等价无穷小方法分析问题一例刘希强，王黎，滕兴虎，张瑰(解放军理工大学理学院数理系，江苏南京，211101)摘要微元法是利用定积分解决实际问题时采取的重要方法，应用时需要对所求量作近似处理．本文应用等价无穷小的方法分析在求解平面曲线弧长和平面图形面积时之所以取不同近似的原因，为“教”与“学”提供一定的帮助．关键词等价无穷小；微元法；曲线弧长；面积中图分类号O172．2问题设在极坐标下，曲线方程(如图1)为f。一lD()(a≤0≤)．(1)求由曲线10一fD()

2、及射线0一a，0一围成的曲边扇形的面积．(2)求曲线弧P—lD()(a≤0≤)的长度．用微元法计算曲边扇形面积．取[，+dO]的微图l极坐标系中的曲边扇形小弧段，将其所对应的窄曲边扇形的面积用半径若采用同样的近似方法求弧长，即将窄曲边扇形中为P：p()，中心角为的扇形的面积来代替，简称d所对的弧长用扇形中∞所对的圆弧长来代替，简“用扇形代替曲边扇形”，得到扇形的面积公式为口]称“用圆弧长代替弧长”，得弧长公式为r1厂A—l告[fD()]。dO．===lP()d0，J口’却导致了错误．收稿日期：2009—12—13；修改日期：2010—07—20．实际上，在计算弧长时，应该用

3、弧所对应的弦长作者简介：刘希强(1982-)，男，山东滕州人，硕士，讲师，从事弹性波理来代替弧长，简称“用弦长代替弧长”，得弧长公式]论及其反问题研究，Email：liuxiqiang063219@sohu．COnl王黎(1984-)，女，江苏南京人，硕士，助教，主要从事复杂—ldO．系统与复杂网络的研究，Email：vivianwl@163．corn．()．()●<>·<>-()．(>●0·o●o●o．()．0●<>●o●o●o●o●o●o●o●o●o●<>●<>．()．()．()●<>●o●o·o·0-。．o．o．()．<>．o．0·c．()．<>．()．0●0●<>·

4、o-。．0·等教育出版社，200l：128—129；160．参考文献[5]刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义(上册)[M]．3版．北京：高[1]张国铭．关于L’Hospital法则的一个注记[j]．高等数学等教育出版社，1992：226；213．研究，2001，4(3)：23～25，28．[6]张筑生．数学分析新讲(第二册)[M]．北京：北京大学出[2]齐新社，杨东升．关于洛必达(L’Hospita1)第二法则()版社，l990：6一l0．的注记EJ]．高等数学研究，2006，9(5)：32，38．[7](美)WalterRudin．数学分析原理(英文版)[M]．3版．北[3]陈

5、建华，李德新．洛必达第二法则的推广及其应用[J]．高京：机械工业出版社，2004：109一ll0．等数学研究，2009，12(5)：45—46，48．[8]沐定夷，谢惠民．吉米多维奇数学分析习题集学习指引[4]华东师范大学数学系．数学分析(上册)[M]．3版．北京：高(第一册)[M]．北京：高等教育出版社，2010：321—322．OntheImprovedL’Hospital’SRuleandItsApplicationsZHANGGuoMing(DepartmentofMathematics，MudanjiangNormalUniversity，MudaNiang，He

6、ilongjiang，157011，PRC)Abstract：AnalternativeprooffortheimprovedL’Hospital’SRuleisgiveninthispaper．Theargumentisbasedonthedefini'tionofalimitofafunctionandtheCauchyMeanValueTheorem．Asitsapplications，fourexamplesarealsoprovided．Keywords：L’Hospital’SRule；CauchyMeanValueTheorem；MeanValueTheore

7、m。48高等数学研究为什么在计算面积和弧长时，要采用两种不同的20(0)·[10(臼)+lD()·+o(d)]·cos(d0)==：近似呢，下面对这一问题作简要探讨．211～cos(d0)]·[10(臼)+l0()·lD()·dO+1面积的计算p()·0(d)]十0。()·(d)+计算面积时，若“用扇形代替曲边扇形”，则面积2p()·d·rJ(d0)十rJ(d0)]。元素为从而可证明，dA1一p()d，lim一、／0L万十_lD7L，’若采用“用弦长代替弧长”的方法，则相应于任一小所以，弧长元素区间[臼，+dO]的