等价无穷小在解题中的应用

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1、等价无穷小在解题中的应用工程与设计学院数学111本摘要:本文重点研究解决极限问题中的等价无穷小的应用，在高等数学学习中这对于学习和解决极限问题的能力有促进作用．关键字:等价无穷小;极限;替换;应用1引言极限理论与计算是高等数学的重要内容之一，而等价无穷小在求极限的运算过程中具有极好的性质．因此，必须掌握等价无穷小的概念并充分利用好的它的性质，可以使一些复杂的极限计算问题简单化，达到简化目的.比如，求这样一个极限问题，,它是一个型的不定式极限，若用洛必达法则求极限则原式=,在对分子分母求一阶导后仍然是一个型的极限，再用洛必达法则，对分子分母进行第二次求导，则原式=

2、，显然二阶导后依然是型不定式极限，继续求，计算过程将会相当繁琐，并且很难求出结果。但是，若果用等价无穷小替换求此极限，则原式==．由上面的解题过程可见，在用等价无穷小替换求解两步即可，明显优于洛必达法则求极限．所以在求解函数极限的过程中必须熟练并准确运用等价无穷小性质解题，便可达到事半功倍的效果。本文就是通过对等价无穷小概念及其性质的理解，讨论等价无穷小在乘除运算、和差运算、幂指函数、变上限积分和级数敛散性中极限函数的应用及其相关注意点．2等价无穷小在解题中的应用2.1等价无穷小在乘除极限运算中的代换根据等价无穷小的定义,在求型的乘除式极限里,其因子可用等价因子

3、代替,极限不变.下面给出最常用的等价关系:16当时（其中>0,）.还有定理设函数在上有定义，且有.（1）若，则；（2）若，则.证（i）.（ii）.例1求.解由于,.故由定理1得.例2利用等价无穷小代换求极限.解由于,而.故有.2.2等价无穷小在和差运算中的代换对型乘除运算求极限,利用等价无穷小代换简便而有效.而对加减运算则需格外谨慎.如，在利用等价无穷小代换求极限时,应注意:只有对所求极限中相乘或相除的因子才能用等价无穷小替换,而对极限式中相加或想减的部分则不能随意替换.如在例4中,若因有16,而推出=,则得到的是错误的结果下面定理给出了加减运算求极限是施行等价

4、无穷小代换的条件.定理设均为时的无穷小函数,且,存在,但不等于-1,则.证需证或.因为=,注意到,故有,.注显然条件可换为.易知若无穷小与(或与)同时为正(负),且极限或存在,则.推论1.设均为时的无穷小函数,且,存在,但不等于1,则.由定理1同理可证推论2设均为时的无穷小函数,且16,存在,但不等于1,则=.若不等于-1,则=.推论2可有定理2和推论1直接证得例3求.解因为是,,,且,,所以原式=.例4求解因为时,,,由拉格朗日中值定理导出的若干等价代换可得原式=.例5求解由等价关系可得,且所以原式=16例4求解由于,,且所以原式===2.3等价无穷小在幂指函

5、数极限中的代换定义设，：是两个函数，且，，则称形如的函数为幂指函数.幂指函数与对数的转换公式=.在求函数极限过程中，常常会碰到、和三种不定式极限问题，若能在这些幂指函数求极限过程中，利用等价无穷小代换,可将复杂问题简单化。下面先给出一个基本定理及其证明过程,接着进一步阐述三类不定式极限中等价无穷小的代换.定理设两个连续函数,在上有定义,且>0,,,则,其中.证:令=,则,所以,即,16又因为,,所以=即.2.3.1等价无穷小在幂指函数型极限中的代换对于型幂指函数极限,首先必须熟悉重要极限=及其变形公式=.如==.引理1设函数，在上有定义,且为时的无穷小，若,则=

6、=.证明==由于所以==.例7求极限解因为，所以为型原式可变形为，满足引理的条件，所以=====（用两次洛必达法则可得到）16例8求极限.解因为，所以为型原式可变形为，满足引理的条件，所以==.例9求极限.解==因为所以===.定理4设函数，，，在上有定义,且为时的无穷小，若,，且=，则有==.证明由引理得=,=而，所以由等价无穷小代换的性质可得16=所以====.例10求极限.因为，，为型且，由定理可得==.2.3.2等价无穷小在幂指函数型极限中的代换定理5设两个连续函数,在上有定义,且>0,，为等价无穷小，即,则=.证:因为存在,则存在,即存在.由等价无穷小

7、代换可得=,所以=,即=.定理6设两个连续函数,在上有定义,且>0,且当时，，均为无穷小量，,则=证明====16因为，所以==.推理3设连续函数,，，在上有定义,且>0，当时，，，，均为无穷小量，，，则=.由定理和定理推得例11求极限.解由于，所以此极限为型当时因为，所以由推理可得======1.2.3.3等价无穷小在幂指函数型极限中的代换定理7设连续函数,，，在上有定义,且>0，当时，，，，均为无穷小量，，，则=.由推理1可得定理例12求极限.由于，所以此极限为型当时因为，16所以由推理可得======1.例13设在=0处二阶可导,且,求,,并计算.此题利用

8、泰勒展开和幂指函数等价代