椭圆曲线密码体制的研究与应用

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1、山西师范大学学报(自然科学版)第24卷第3期JournalofShanxiNormalUniversityVo1．24No．32010年9月NaturalScienceEditionSept．2010文章编号：1009-4490(2010)03-0013-05椭圆曲线密码体制的研究与应用户占良(菏泽学院现代教育技术中心，山东菏泽274015)摘要：自1985年KoblitzN和Miller各自独立提出了椭圆曲线密码体系以来，椭圆曲线密码体系逐步成为一个令人十分感兴趣的密码分支．在椭圆曲线上实现各种已知的密码体制已是公钥密码学领域的一个重要课题．与其他

2、公钥密码体制相比椭圆曲线密码体制具有密钥短、强度高、参数少等优势．椭圆曲线密码体制在密钥交换、加密、数字签名、电子商务和PKI／CA认证方面的应用越来越广泛，椭圆曲线密码体制有望成为取代RSA的下一代公钥密码体制．关键词：椭圆曲线密码体制；ECDSA；PKI；CA中图分类号：TP393．08文献标识码：Al椭圆曲线密码数学基础1．1椭圆曲线数学理论1．1．1椭圆曲线概念椭圆曲线密码体制的数学原理涉及到群、环、域概念．椭圆曲线的研究来源于椭圆积分：f—(1)E()这里，E()是的二次多项式或四次多项式．这样的积分不能用初等函数来表达，为此引入了所谓椭圆

3、函数．椭圆曲线是由三次方程维尔斯特拉斯(Weierstrass)方程E：)，+l戈y十a3y=戈+O,2X+CI．4．T,+口6(2)所确定的平面曲线．是一个域，可以是有理数域或复数域，还可以是有限域¨．0∈K，=1，2，⋯，6，且△≠0，△是E的判别式，具体定义如下：△=一d2d8—8d一27d：+9d2d4d6其中，d2：0+4口2，d4=2a4+01口3，d6=口；+4a6，d8=。21。6+4a2n6一口1口3口4+020一n．满足式(2)的数偶(，Y)称为K域上的椭圆曲线的点．椭圆曲线的定义中还包含一个称为无穷远点的元素，记为。。．我们将椭

4、圆曲线记为E(K)以强调椭圆曲线E定义在域K上．若把域限定为素数域，P为素数，可以把方程限制为下述形式：Y=+0+6(3)其中，，Y，0，b∈E，n和b满足：4a+27b(roodP)≠0．则满足式(3)的点(，Y)和一个无穷远点0的椭圆曲线记为(口，b)．1．1．2椭圆曲线运算法则假设域为实数域，椭圆曲线上的加法几何意义如图1所示．P(x，Y)和收稿日期：2009—12-09基金项目：菏泽学院科学研究基金项目(XY09JS02)．作者简介：户占良(19r75一)，男，山东菏泽人，菏泽学院现代教育技术中心工程师，主要从事信息管理与网络安全方面的研究山

5、西师范大学学报(自然科学版)Q(x，Y)是E上不同的两个点，连接点P和Q交曲线E于另一点，过该点作平行于纵坐标轴的直线与曲线E相交于点R(。，Y，)，则R为P和Q两点之和，记为R=P+Q，这就是椭圆曲线的加法运算．图2定义了曲线E上任一点自加运算，记为2P=P+P，过点P作曲线E的切线与曲线交于一点，过该点作平行于纵坐标轴的直线与曲线相交于点R(x，，Y)．若切线和纵坐标轴平行即交曲线于无穷远处，则P+P=∞，即点P是椭圆曲线E上阶为2的点．对于k个相同点的相加，即P+P+⋯+P，可表示为P，称为点乘或数乘／‘-．．Px．y．．．·。厂—／，～＼／＼

6、一P＼=y。j：：：：：／＼，LyJ＼J，＼图1点加运算图2倍点运算Fig．1PointaddcomputationFig．2Pointdoublecomputation椭圆曲线上的点在所定义的加法运算下形成一个阿贝尔群(Abeliangroup)，令()是由Weierstrass方程给出的椭圆曲线：y2=+ax+b．(1)单位元：对于所有的P∈E(K)，P+∞=∞+P=P．(2)负元：若P=(，Y)∈E(K)，则(，Y)+(，一Y)=∞，记点(，一Y)为一JP且称为P的负元．一P也是E()上的一个点，此外一。。=∞．(3)点方Ⅱ：令p(x，Y)∈E

7、(K)，Q(x，Y2)∈E(K)，P≠±Q，贝ⅡP+Q=(3，)，其中3=()一X2和)，，=()()．(4)倍点：令P(，y)∈E(K)，P≠一P，则2P=(，，Y，)，其中，=()一2x。和Y，=(．椭圆曲线可以用参数集T={P，a，b，G，n}来表示，其中P，a，b含义如上描述，G是在椭圆曲线中所挑选的基点，n是G的阶，是满足nG=∞成立的最小正整数．椭圆曲线点的个数称为椭圆曲线的阶把，满足下列不等式：P+1—2≤把≤P+1+21．2椭圆曲线离散对数问题椭圆曲线公钥密码体制的安全性与椭圆曲线离散对数的求解困难性等价．椭圆曲线离散对数问题是椭圆曲

8、线公钥密码体制的核心，是比整数因子分解问题难得多的数学难题l2J．椭圆曲线离散对数问题(EllipticCu