Schoof算法及其在椭圆曲线密码体制中的应用

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1、9/5&&:算法及其在椭圆曲线密码体制中的应用杨文锋华中科技大学数学系，武汉；<””）；）骑要】9/5&&:算法是一种确定性算法，用于计算有限域！“上椭圆曲线上的点的个数=#!〉”？。详细介绍了9/5&&:算法，并应用它构造了一种方法随机牛成安全的椭圆曲线，在此椭圆曲线上实现的加密系统可以抵抗@&56.7AB466+O-攻击。戻键词】安全的椭圆曲线椭圆曲线密码体制公钥密码体制9/5&&:算法!”#$$%&'（）*$+,-#・/012-'（33）；7-,$0-$4））3「56+785+93$9»8.$%&'<)&*)&,>C4D1'&:EOI54+O1./2(B,0F5&-7G-.H4I2.

2、18&:9/.4-/40-J34/5-&6&78(K,50-；<”")；？9/5&&12067&I.15+.20J414I+.-.21./067&I.15+1&/&+D,14154-,+M4l&:!“AD&.-12&:0-466.D24/,IH41501.2J4:.-4J&H4I0:.46J'35.20I1./64N.66J42/I.M49/5&&:L2067&I.15+J410.60-JODD68.11&/&-21l,/1.-70-067&I.15+1&74-41014024/,14466.D1.//,IH4N5./5/0-7,0IJ070.-21@&56.7AB466+0-L20110

3、/0'E89v$+1'】24/,l4466.D1.//,IH4(P**>466.D1.//,IH4/l8Dl&28214+?(@CT，9/5&&12067&I.15+>妁>；9!概述椭圆曲线密码体制？是基于椭圆对数问题的困难性构造的，可以描述为给出一有限域！”上的椭圆曲线及曲线上两点+,要求解方程-.//+（是困难的（其中/为整数（/为椭圆曲线上的点乘运算。假如！”上椭圆曲线上点的个数=#!>••?为小的素数的乘积则容易被@&56.7AB466+O-方法攻击，即可以在较短的时间内求出/,从而影响密码强度。可以通过9/5&&:算法来计算有限域!上椭闘曲线上的点的个数达到含有大素数因子的

4、条件來生成安全的椭圆曲线。这里具体讨论型如>!?的有限域！・上椭圆曲线方程：$片・0'12013>!?其中2,3#!・,且;2

5、-

6、-%4!假如&为偶数）*#&1••*41$+*『40<12013）"+*『1!+*&4!假如&为奇数）其中递推初值为*4.-4!，*....!，冷-#,.<0;1$20*1!#3042**U.;0s1U20:1#"30<4U2*ofl4；2304V3*

7、42<）当点+>5,6?满足>!?（且点+17N#X时（则&/+.”>无穷远点？的充要条件为"&>0?Y”（而=#!>”？丫-R!A8（其中8为阿贝尔群7斟）〉由所有满足V的点以及无穷原点”组成？上ZI&M4-.,2线性变换！的迹满足

8、8

9、》#-~（!在7&9,-7〉为有限域！”上的椭圆曲线上的点集7经！自同态映射形成的环？上的点运算满足方程（盯48!1”）+・”>无穷远点？（这样只需求出8即可以求出=可以选取不同的小的素数：；>:；不等于#和+!（+!为！“的特征因子？（在子群（

10、*r$$（）*,当3：$++-J即满足中国剩余定理的条件时求出同余方程组的解*'从而求岀有限域（）上椭圆曲线上的点的个数。所以，・.%%/算法关键在于怎样在子群±构造”的同余方程组。设为！在群•-./o.?）io>'为数域/O,©1（））上群’$］上的点经！自同态映射形成的群*上的映射，！，对所有点!（，,#）#，满足（!22!,3））!&”#3*其中”为椭圆曲线上的无穷远点，假如阳’对所有!（，,#）#"$］成立，则&$,°为了求1不需穷举甘…、4$,）是否对所有的点！满足咛式，可通过计算一系列多项式与4$.5）最大公因式来求得。设点5!为！,！，点52为6!60）$%&$»。当5!'

11、52关于6轴对称时满足!2!&26!'再由#3*式有9”$%&$,；当5!'52为同一点时有艸！&6!'若勒让德符号别$；）&!贝U由#3*式有9+）$%&$'令72O）$%&$”然后通过对6测试#7*>#8对9测试式决定9227$%&$•.或927$%&$，假如#718*式的值为!或勒让德符号貝$：）&2!时表明5!'52关于6轴对称，则有P”$%&$-.这些由步骤#3*##厂实现；当5!'52不为同一点也不关于6