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1、椭圆曲线密码体制翁健jianweng@sjtu.edu.cn1.实数域上的椭圆曲线先看实数域上的椭圆曲线的各种例子（见小程序）1・1实数域上椭圆曲线的定义射影坐标下椭圆曲线的定义：设K为一个域，斤表示K的代数闭域，K上的weierstrass方程：r2z+xrz+=x3+6i2x2z+xz2+ahz3（1.1）决定射影平面尸（斤）上的一条曲线E。当曲线E非奇异时，称曲线为K上的曲线，记为E/K。由方程F（X,Y,Z）=O决定的曲线E非奇异o曲线E上不存在使得d%Yfd%Z同时为。的点（即满足方程的任意一点都存在切线）°注：▲Y2Z+a.XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z-^-a4XZ2
2、a.Z3是Weierstmss方程（维尔斯特拉斯，KarlTheodorWilhelmWeierstrass,1815-1897）,是一个齐次方程。▲椭圆曲线的形状，并不是椭圆的。只是因为椭圆曲线的描述方程，类似于计算一个椭圆周长的方程。▲椭圆曲线E上有一个点（0,1,0）具有坐标Z=0,称该点为无穷远点0。值得注意的是O不是奇异点，vdr^z（O）=1o椭圆曲线的例子：不是椭曲线的例子:why?:因为他们在（0:0:1）点处（即原点）没冇切线。当ZH0时，令x=XZy=YIZ,贝ij(1.1)可变成如下形式:y2+a{xy+a3y=%3+a2x2+a4x-^-a6(1.2)此时，曲线E
3、就由满足方程（1・2）的所有点（兀,刃连同无穷远点O组成。将（1・2）变为/（x,y）=0的形式，则曲线E非奇异o曲线E上不存在使得%,%，同时为0的点。从而得到曲线在仿射坐标下的定义：由方程（1・2）定义的非奇异曲线上的点连同无穷远点O组成椭圆曲线值得注意的是，以前提供的图像可能会给大家产生一种错觉，即椭圆曲线是关于x轴对称的。事实上，椭圆曲线并不一定关于x轴对称。如下图：1・2实数域上椭圆曲线的运算任取椭圆曲线E上的两个交点P,Q,连接的直线（当P=Q时，取通过P的切线）与E交于第三点R,我们定义连接R与无穷点O的直线与E的第三个交点记为P㊉R现在来推导通用情形的椭圆曲线f{x.y)
4、=y2+a}xy^-a3y-x3-a2x2-a4x-a6=0(1.3)的运算公式：i)设P=Oo，yo)wE,先来推导-P的表达式通过P与O的直线L.x=x^厶与E的第三个交点即为-P(x0,y,)o将x=xQ代入(1.3)得/(xo,y)=O,即y2+(q兀0+°3)y一(Xo+a2X0+a4X0+)=0=>Vo+>1=一(％o+偽)=＞必=一％-叭一。3即-P—(兀0,-『0-马兀0-a3)a.当兀］=兀2,)1+歹2+。3=0吋，斥㊉P2=Ob.当片㊉马HO时，过人,鬥的直线为：-1af-al一afar.勺一-+--y••£兄-2j__准，旺H兀2(⑺—，西=兀>(即片=出，•・•
5、片+AHO)(⑺记L与E的第三个交点为占=(忑,力)，则片㊉£=-出，将直线L的方程代入式(1.3)，得：f(x,Ax+v)=(x-Xj)(x一x2)(x-x3)=>X—(A-+6ZjA—Cl-,)X~—(2,Av+6Zjv4-。3兄—q)x—(v-+ci^v—务)=0由此可得：西+兀)+禺=才+偽几—5=*兀3='1+。3久—么)—X)—禺，再将兀3代入L的直线方程可以进一步求出兀3和％,最后根据求出i)可以求出P^®P-y——P—(A>~+d
6、Q—Xj_尤>,2(兀］_旺)_)1—兀3—。3)例：(见小程序)运算㊉具有如下性质：(1)若直线L与E相交于P,Q,R三点，则P㊉0㊉R=O
7、(2)对任一PwE,有P㊉O二P(3)对任意P,QeE有P㊉Q=Q㊉P(4)对任一PeE,存在E上的一点，记为-P,使P㊉(-P)=O(5)设P,Q,RwE,则(P㊉Q)㊉R=P㊉(Q㊉R)注：第(5)非常重要，它是一个集合成为群的一个重要条件。(群的条件：二元运算，结合律，单位元，逆元)证明性质(5)要用到如下的一个几何性质：设三条直线/„Z2,/3和一条曲线交于九个点片，…代(允许重复)；若有其它三条直线与曲线交于九个点Q,…Q，若^=2，J=1,...8,则必有Pq=ao(由两点确定一条直线知显然成立)证明性质(5):选择椭圆曲线E上的三个不同点P,Q,R(此处只考虑这三个点不同的
8、情形),取如下六条直线：£=P,Q,_(P+Q)L=O,R,—R1?二-P,_(f2+R),P+(Q+R)AQ,R,-(Q+R)l；=O,P,—PA*(P+Q),(P+Q)+/?这样就可以得到三条直线Z„/2,Z3交E于九个点：P,-P,2,R,-R,-(P+0,-(Q+/?),O,P+(Q+/?)及三条直线/,；/；,/；交E于九个点：P,-P,2,R、—R,—(P十0,—(Q+/?),O,(P+0+/?比较这两组交点，不难发现前
