高中数学《正弦定理、余弦定理的应用》文字素材1 苏教版必修5.doc

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1、正、余弦定理应用举例高考连线　　本部分内容主要考查同学们对基础知识的掌握程度和灵活应用能力．考查主要以应用正弦定理、余弦定理解决实际问题、求值、证明三角恒等式等为主，兼顾三角恒等变换能力、运算能力及转化的数学思想．高考金题精析例1（2006上海高考）如图1，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到1°）？解：如图1所示，在中，，，．由余弦定理知，∴．由正弦定理得，∴．∴．∴乙船应沿北偏东的

2、方向沿直线前往处救援．评析：在解决与三角形有关的实际应用问题时，应深刻理解一些有关名词、术语的含义，如方位角、仰角、俯角等，并能准确的与题目中相关知识结合，进行准确的定位．例2（2005年全国卷Ⅱ）中，内角的对边分别为，已知，．（1）求的值；（2）设，求的值．解：（1）由，得．由及正弦定理得．5用心爱心专心故；（2）由，得．把代入上式，得，即．由余弦定理，得，∴，∴．评析：本题是正、余弦定理与平面向量等知识的交汇题，是高考命题的热点题型．例3　（2006江西高考题）如图2，已知是边长为1的正三角形，分别是边上的点，线段经过的中心．设．（1）试将的

3、面积（分别记为与）表示为的函数；（2）求的最大值和最小值．解：（1）因为为边长为1的正三角形的中心，所以，．由正弦定理，得，则．又，得，则；5用心爱心专心（2）．因为，所以当或时，的最大值为240；当时，y取得最小值216．评析：可以将平面几何的计算问题化归到三角形中，利用正弦定理、余弦定理以及面积公式等基本知识转化为方程或函数问题来处理．问题求解建模帮忙　　数学建模思想：就是从实际问题出发，经过抽象概括，把实际问题转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，最后还原成实际问题的解．那么在解题中建模思想是如何表现的呢？下面结合

4、例题给大家具体的讲解一下，以帮助同学们更好的体会．例1　现从雷达发现一艘船装有走私物品，海关缉私队立即由A港口乘快艇出发追击此船，若快艇在处时，观测到该船在北偏西15°的处，间的距离为100海里，且走私船以每小时40海里的速度沿东北方向行驶，快艇的速度可达每小时60海里，问快艇沿什么方向追击，才能尽快追上走私船？用去多少时间？分析：读完题之后，我们知道解决此问题的关键是如何把它转化成数学问题，即建立数学模型．为此，我们可以分四步来进行：一是分析问题，首先确立两船的相对位置及走私船的航向，确定最短追击路线（形成三角形时追击的时间最短）；二是对实际问

5、题抽象概括，得到三角形模型，并找到相应的边角关系；三是对得到的三角形模型求解；四是把得到的模型的解还原成实际问题的解，即解决问题．根据以上分析，我们首先作出示意图，利用图形把它转化为数学问题．解：如图1所示，设小时后快艇追上走私船，则，．由余弦定理，得，化简、整理，得，解得．由实际问题我们知道不符合题意，故舍去．5用心爱心专心因此，我们可以得出（小时）．再由正弦定理，得，查表可知．所以快艇应沿北偏东20.3°，才能尽快追上走私船，用去约3.45小时．提示：正弦定理与余弦定理的应用过程其实就是建模的过程．因此，我们不但要学会定理本身，还要有较强的建

6、模能力，即有一双学数学人特有的眼睛，能从各种复杂的实际情况中看出或“抽”出它们之间的数量关系，进而建立相应的数学模型，用学过的数学知识求解，最后得出解决实际问题的方法．下面我们试着用这种思路来解决另一个实际问题吧．例2　在相距3400m的两监测所中，听到同一爆炸声的时间差为6s，且处的声强是处声强的4倍，声强与距离的平方成反比，求爆炸点到两监测所中点的距离．分析：题中涉及了两个监测所和爆炸点，我们可把它们分别看成一个点，从中抽象出三角形模型，这样所求就转化成了求三角形的一条中线的长．解：如图2，记爆炸点为，建立如图所示的三角形，为的中点．根据声强

7、与距离的平方成反比，可得，①又根据时间差及声音的传播速度，可得（m）．②联立①、②解得（m），（m）．在中，由余弦定理，得．在中，由余弦定理，得（ｍ）．即爆炸点到两监测所中点的距离约为2741m．点评：从实际问题出发，构建数学模型，加以探讨研究，得出有助于解决实际问题的答案，这既是学习数学的目的，又是建模思想的具体体现．此外，我们还要了解和掌握一些生活常识，如声音在空气中的传播速度为340m/s，光的速度为5用心爱心专心m/s，这在解决一些与之相关的实际问题中有着重要应用．5用心爱心专心