《正弦定理》文字素材7（苏教版必修5）

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1、(1)asinCbsinCc=—；=—:sinAsinB(2)(3)d：b:c=sinA:sinB:sinC；a=27?sinAh=27?sinB,c=2RsinC(/?%△ABC外接圆的半径);(4)sin咗,sin嗨高中苏教数学⑤1.1〜1・2正弦定理、余弦定理要点解读一、正弦定理1.正弦定理及其证明在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即丄=丄=丄・sinAsinBsinC课本利用三角形中的正弦函数的定义和向量的数量积两种方法证明了正弦定理，同学们可以思考一下有没有别的方法呢？答案是肯定的.证明如下：当△ABC为锐角三角形时（如图所示

2、），过点4作单位向量,垂直于AB,因为bcos(90°一A)=0+acos(90°-B),AC=AB+BCf所以rAC=+BC)=rAB+rBC即bsmA=asinB,得一=一—.sinAsinB当'ABC为钝角或直角三角形时也可类似证明.2.正弦定理常见变形公式bsinAcsinA.csinBasinBci=■=■b=■=■sinBsinCsinCsinA(5)sin4+sinB+sinCsinAsinBsinC注：这些常见的变形公式应熟练掌握，在具体解题时，可根据不同的题设条件选择不同的变形公式.3.正弦定理的运用利用正弦定理，可以解决以下两类

3、有关解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求英他两边和另一角；②己知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.二、余弦定理1.余弦定理及表达式三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.a2=b2+c2-2bccosA；b2=c2-Vci2-2cacosB；c2=a2+Z?2一2abcosC.注：余眩定理反映了a,b,c,AB,C元素间的动态结构，揭示了任意三角形的边、角关系.2.余弦定理的另一种表达形式.lr+c2-a2cosA=；2bcc2+a2-b22aclab注：若已知三边求角吋，应用余眩定理的此表达形式

4、简单易行.1.余弦定理的运用利用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：（1）己知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.注：这两类问题在有解吋都只有一个解.2.勾股定理和余弦定理的区别与联系勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系.由余弦定理及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.因此，勾股定理可以看作是余弦定理的特殊

5、情况，余弦定理可以看作是勾股定理的推广.三角形形状的判定根据条件判断三角形的形状，是一类常见的解斜三角形问题.本文介绍几种常用解法,以供参考.一、利用向量的模，或利用向量的夹角来判定例1在厶ABC屮，^BC=a,CA=b,AB=c,若ab=bc=ca,判断△ABC的形状.解：Ta+b+c=O,•Ia+〃=-c,（a+b）2=（-c）2,即a1+la*b=c2,同理有:b2+c2+2b*c=a2,两式相减有：a2-c2+2（a•方一b・c）=c?一/,*.*a*b=b*c,・：a2=c2.即a=c,同理:

6、a

7、=

8、^

9、,即a=b=c,故△

10、ABC为等边三角形.注：我们还可以利用向量的夹角來判断.提示：以BA,BC为平行四边形的两邻边，作UABCD,由a・b二b・c知〃・（a-c）=O,即CA-BD=O,即CA丄BD,所以UABCD为菱形，故BA=BC,同理可得AB=AC・二、利用正、余弦定理來判断边或角的关系一般地，对于给出的边、角关系混合在一起的问题，利用正、余弦定理，要么把它统一为边的关系，耍么统一为角的关系，再利用三角形的有关知识及三角恒等变形等来解决.例2在厶4BC屮，若2cosCsinA=sinB,则△ABC的形状一定是（）（A）等腰直角三角形（B）直角三角形（C）等腰三角

11、形（D）等边三角形解析：T2cosCsinA=sinB,•:cosC=—•2a又由余弦定理，知cosC=d~.2ab•*.a=cf故选(C).三、利用三角变换例3在厶ABC若sinAsinB0,即cos(A+B)>0,所以0vA+Bv兰，所以-

12、sC+cosAsinC.故sin(A—C)=0,即A=C・例4AABC中，若sinAsinB+sinAcosB-FeosA