《正弦定理》文字素材1（苏教版必修5）

《《正弦定理》文字素材1（苏教版必修5）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、正、余弦定理应用举例高考连线本部分内容主要考查同学们对基础知识的掌握程度和灵活应用能力•考查主要以应用正弦定理、余弦定理解决实际问题、求值、证明三角恒等式等为主，兼顾三角恒等变换能力、运算能力及转化的数学思想.高考金题精析例1（2006上海高考）如图1,当甲船位于A处吋获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1°）?;I北图1解：如图1所示，在AABC中，A3=20,AC=10,ZBAC=120°

2、.由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2cos120=202+102-2x20xl0x=700,.IBC=10的.由正弦定理得ABsinZACBsinZBACsinZACB=—sinZBAC=丿Lsin120°=—BC10丽7・•・ZACB=41°.・・・乙船应沿北偏东30。+41°=71°的方向沿直线前往B处救援.评析：在解决与三角形有关的实际应用问题时，应深刻理解一些有关名词、术语的含义,如方位角、仰角、俯角等，并能准确的与题目屮相关知识结合，进行准确的定位.例2（2005年全国卷II）/XABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知戻="

3、,cosB=—・4(1)求丄+丄的值；tanAtanC(2)设BA-BC=-f求a+c的值.2解：(1)由cosB=—f得sin3=^^・44由b2=ac及正弦定理得sir?B=sinAsinC.sinAsinC故丄+丄二沁+sinCcosA+cosCsinAtan>4tanCsinAsinC_sin(A+C)_sinB_1_4护sin2Bsin2BsinB7(2)由BA・BC=—,得cacosB=—.22把cosB=—代入上式，得ac=2f即b2=2.4由余弦定理b?=a2+c2-2accosB,得a2+c2=5,(a+c)2=tz2+c2+2ac=

4、5+4=9,・*•a+c=3.评析：本题是正、余弦定理与平面向量等知识的交汇题，是高考命题的热点题型.例3(2006江西髙考题)如图2,图2已知AABC是边长为1的正三角形，M,N分别是边AB,AC上的点，线段MN经过(北A△ABC的中心G・设ZMGA=q-WgW—・(33丿(1)试将△AGMAAGN的面积(分别记为$与SJ表示为a的函数；(2)求尸4+4的最大值和最小值.解：(1)因为G为边长为1的正三角形ABC的中心,所以心牛学¥，ZMAG=^.由正眩定理丝二——K・sm—sin6GA'71、-a--l.6丿得GM=..(兀)6sina+-6丿则

5、S冷GMGsinxsina12siv+^GN・兀sin-6/、兀sina-<6丿GA得GN=/6sina——I6丿则52=—GA^*GAsin(7t-a)=sina12sina--6丿“、11144•T/兀(亓、(1)(2)y—???sin"a+—+sina——=72x2+——•S；S;siirak6丿<6丿

6、想：就是从实际问题出发，经过抽象概括，把实际问题转化为具体问题小的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，最后还原成实际问题的解.那么在解题中建模思想是如何表现的呢？下面结合例题给大家具体的讲解一下，以帮助同学们更好的体会.例1现从雷达发现一艘船装有走私物品，海关缉私队立即由A港口乘快艇出发追击此船，若快艇在A处时，观测到该船在北偏西15°的B处，AB间的距离为100海里，且走私船以每小吋40海里的速度沿东北方向行驶，快艇的速度可达每小吋60海里，问快艇沿什么方向追击，才能尽快追上走私船？用去多少时间？分析：读完题之后，我们知道解决此问题的关键是

7、如何把它转化成数学问题，即建立数学模型.为此，我们可以分四步来进行：一是分析问题，首先确立两船的相对位置及走私船的航向，确定最短追击路线（形成三角形时追击的时间最短）；二是对实际问题抽象概括，得到三角形模型，并找到相应的边角关系；三是对得到的三角形模型求解；四是把得到的模型的解还原成实际问题的解，即解决问题.根据以上分析，我们首先作出示意图，利用图形把它转化为数学问题.解：如图1所示，设f小时后快艇追上走私船，则BC=40/,AC=60t・由余弦定理，得(60r)2=1002+(40/)2一2x100x40fcos120°,化简、整理，得/2-2/-5

8、=0,解得/=1±^6.由实际问题我们知道r=l-j6不符合题意，故舍去.因此，我们可以得出2