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1、高考数学知识模块复习指导系列学案——平面向量【考点梳理】一、考试内容1.向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。2.平面向量的坐标表示，线段的定比分点。3.平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。4.平移及平移公式。二、考试要求1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2.掌握向量的加法与减法。3.掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处
2、理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。三、考点简析1.平面向量知识结构表2.向量的概念（1）向量的基本概念①定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。②特定大小或特定关系的向量零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。③表示法几何法：画有向线段表示，记为或α。坐标法：=xi+yj=(x,y)。用心爱心专心=(x2－x1,y2－y1)，其中A(x1,y1),B(x2
3、,y2)（2）向量的运算①向量的加法与减法定义与法则（如图5－1）：a+b=(x1+x2,y1+y2),a－b=(x1－x2,y1－y2)。其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)。运算律：a+b=b+a,(a+b)+C=a+(b+c),a+O=O+a=a。②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5－2）：λa=λ(x,y)=(λx,λy)运算律λ（μa）=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb。③平面向量的数量积定义与法则（如图5－3）：a·b=
4、a
5、
6、b
7、cosθ(a≠0,b≠0
8、,0≤θ≤π)0·a=0,a·b=x1x2+y1y2[a=(x1,y1),b=(x2,y2)]。运算律：a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ（a·b），（a+b）·c=a·c+b·c。（3）定理与公式①共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa②平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的。任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2使用心爱心专心a=λ1e1+λ2e2③两向量垂直的充要条件(i)a⊥ba·b=0(ii)a⊥bx1·x2+y
9、1·y2=0（a=(x1,y1),b=(x2,y2)）④三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β,使=α+β，其中α+β=1，O为平面内的任一点。⑤数值计算公式两点间的距离公式：
10、
11、=[P1(),P2(x2,y2)]线段的定比分点坐标公式：[P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),=λ]中点坐标公式：两向量的夹角公式：cosθ==[0°≤θ≤180°,a=(x1,y1),b=(x2,y2)]⑥图形变换公式平移公式：若点P0(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x′,y′)，
12、则⑦有关结论(i)平面内有任意三个点O，A，B。若M是线段AB的中点，则(+);一般地，若P是分线段AB成定比λ的分点（即=λ，λ≠－1）则=+，此即线段定比分点的向量式（注意与例7（1）表述方法的不同，例7（1）用时很方便）。用心爱心专心(ii)有限个向量a1,a2,…,an相加，可以从点O出发，逐一作向量=a1,=a2,…,=an,则向量即这些向量的和，即a1+a2+…+an=++…+=（向量加法的多边形法则）。当An和O重合时（即上述折线OA1A2…An成封闭折线时），则和向量为零向量。注意：反用以上向量的和
13、式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。3.向量的应用（1）向量在几何中的应用（2）向量在物理中的应用四、思想方法向量法：用向量证明或解题的方向称为向量法。向量法在处理物理学、几何学中有很大的用处。【例题解析】例1设a0为单位向量，（1）若a为平面内的某个向量，则a=
14、a
15、·a0;(2)若a与a0平行，则a=
16、a
17、·a0；（3）若a与a0平行且
18、a
19、=1，则a=a0。上述命题中，假命题个数是（）A.0B.1C.2D.3解析向量是既有大小又有方向的量，a与
20、a
21、a0模相同，但方向不一定相同
22、，故（1）是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时a=－
23、a
24、a0，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。注向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。例2已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a与b之间有关系
25、ka+b
26、=
27、a
