解析几何中的切线问题1.doc

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1、1、如图，过点作抛物线的切线，切点A在第二象限.(Ⅰ)求切点A的纵坐标;(Ⅱ)若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线交椭圆的另一点为B，记切线，OA，OB的斜率分别为，求椭圆方程．解：(Ⅰ)设切点，且，由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，，即点的纵坐标．…………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得，切线斜率，设，切线方程为，由，得，…………7分所以椭圆方程为，且过，…………9分由，，…………………11分∴将，代入得：，所以，∴椭圆方程为．………………15分2、设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系

2、；（2）求证：直线恒过定点.解：(1)当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，令，解得，代入方程得，故得，因为到的中点的距离为，从而过三点的圆的方程为．易知此圆与直线相切.（2）证法一：设切点分别为,,过抛物线上点的切线方程为，代入，整理得由已知得，求导得，切点分别为,，故过点的切线斜率为从而过抛物线上点的切线方程为即又切线过点，所以得①即．．．．10分同理可得过点的切线为，又切线过点，所以得②．．．．12分即即点，均满足即，故直线的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒

3、过定点.．．．．．．．．．．．．．．．．．16分1、如图，已知抛物线的顶点在原点，焦点为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）在抛物线上是否存在点，使得过点的直线交抛物线于另一点,满足，且与抛物线在点处的切线垂直?若存在,求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（Ⅰ）解：设抛物线C的方程是，由于焦点为，∴，即，故所求抛物线C的方程为．…………4分（Ⅱ）解：设，，则抛物线C在点处的切线斜率为，切线方程是：，直线的方程是．…6分将上式代入抛物线C的方程，得，故，，∴，。又，，∴……12分令，得y1＝4,此时,点的坐标是.经检验,符合题意.所以,满足条件的点存在,其坐标为………14分xyOPQAMF1

4、BF2N2、设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段O的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求面积的最大值．（Ⅰ）解：由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．令y=0得即，则F1(-1，0)，F2（1，0），故c=1．所以．于是椭圆C1的方程为：．…………4分（Ⅱ）设N（），由于知直线PQ的方程为：．即．……………………………6分代入椭圆方程整理得：,=,,,故．………………………………1

5、0分设点M到直线PQ的距离为d，则．……………12分所以，的面积S…………14分当时取到“=”，经检验此时，满足题意．综上可知，的面积的最大值为．…………………………15分