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《解析几何中的切线问题1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、即点A的纵坐标1、如图，过点D(0,—2)作抛物线x2=2py(p>0)的切线/,切点A在第二象限.(I)求切点A的纵坐标；(II)若离心率为—的椭圆二+£=1(。>b>0)恰好经2a2b~过切点A,设切线/交椭圆的另一点为B,记切线OA,OB的斜率分别为总&出,若&+2k2=4k,求椭圆方程.X2解：(I)设切点a(兀o，y())‘且y()=‘2p一rtr切线Z的斜率为k=H,P2得Z的方程为y=—x——,又点£)(0,—2)在/上P2p5分(U)由(I)得4(-277,2),切线斜率k=_予,设B(x,,y,).切线方程为y^kx-2,i：ie=^:.b2=p+4所以椭圆方程为二+
2、与=1,且过A(-2“,2),4/ry——2宀4宀4厂(屮3一叫+16-4宀0,6k兀0+兀1=711分0'1+4/16-4Z?21+4疋S=k+2£二儿
3、2兀二x』°+2兀oR二州(do_2)+2x°(阿_2)二3〃2坷+4兀。12X()X]X()X}X()X(X()X]32k厂16-4/?2=3尢2(占+%)+2兀0二M]+4鸟亍_7P二3]〈32£-477(1+4疋)二甘兀°兀]16-4/?21+4/2将£=一-,b2=/?+4代入得：°=32,所以方2=36,/=144,2215分・•・椭圆方程为—+^=1.144362、设抛物线C的方程为兀2=4y,M(%%)为直线/：)'
4、=—加(加>°)上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线M4,MB,切点分别为A,B.(1)当M的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B三点的圆的方程，并判断直线/与此圆的位置关系；(2)求证：直线AB恒过定点(0,加).解：⑴当M的坐标为(0,-1)时，设过M点的切线方程为y=kx-,代入x2=4y,整理得”_4匕+4=0,令厶=(4Q2-4x4=0,解得k=±,代入方程得x=±2,故得4(2,1),B(—2,1),因为M到AB的中点(0,1)的距离为2,从而过M,三点的圆的方程为〒+(丿一］)2=4.易知此圆与直线/：y=-1相切.(2)证法一：设切点分别为人(西』)，〃(吃,旳)
5、，过抛物线上点4(心刃)的切线方程为(y-y})=k(x-x}),代入x2=4y,整理得兀?_4尬+4(临_yj=0YTX由已知得尸二,求导得y=
6、,切点分别为心(兀2，兀)，故过点心，必)的切线斜率为"今从而过抛物线上点A(西,yJ的切线方程为y-开=今(兀—旺)即y=守兀一予又切线过点MS)所以得廿詁-予VV2同理可得过点8(无,％)的切线为尸二兀-才,又—三①即丁0=空兀0-X•…10分12分即北=尹0-力即点人(召,必)，B(x2,y2)均满足％=^x()-y即x0x=2(y0+y),故直线AB的方程为无)兀=2(%+刃14分又M(兀0，%)为直线I:y=-m(m>0)±任意一
7、点，故xQx=2(y-m)对任意兀°成立,所以x=0,y=m,从而直线A3恒过定点(0,m)16分第21题图1、如图，已知抛物线C的顶点在原点0,焦点为F（O,l）.（I）求抛物线C的方程；（II）在抛物线C上是否存在点P,使得过点P的直线交抛物线C于另一点Q,满足PF丄QF,且PQ与抛物线C在点P处的切线垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（I）解：设抛物线C的方程是x1=2py,由于焦点为F（0,l）,・・.2=1,即p=2,故所求抛物线C的方程为x2=4y.4分（II）解：设Q（x2,y2）,则抛物线C在点P处的切线斜率为k=yx=x=^f2切线方程是：・歹=丑
8、兀一必，直线PQ的方程是y=--x+2+V1.…6分2兀将上式代入抛物线C的方程,QQ得兀彳+一兀一4（2+）））=0,故兀[+七-——104—=兀
9、，”=—-^2=—Vi+4。乂FP=（X],），
10、-1）,占「4「h尸0=（兀2?2-1），二=兀旳+卜一1）（力一1）=恥2+刃〉'2-（必+>‘2）+14=一4（2+必）+刃一+必+4（X—4）（必+1）2……]2分令FP・F0=O，得门=4,此时，点P的坐标是（±4,4）.经检验，符合题意.y-(t2一1)二2t(x一/).即y=2tx-t2-l.6分2、设椭圆63+g=l(d>b>0)的左、右焦点分别是鬥、F2,下顶点为A,线段O
11、a~b~的中点为B(O为坐标原点)，如图.若抛物线C2：y=x2-与y轴的交点为B,且经过F1，尸2点.(I)求椭圆G的方程；4(II)设M(0,一一),N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛5物线C2的切线交椭圆G于P、Q两点，求MPQ面积的最大值.(I)解：由题意可知3(0,-1),则A(0,-2),故b=2.令尸0得x2-l=()即兀=±1,则Fi(-1,0),F2(1,0),故22c=l.所以a2=b2+c2=5・于是椭圆G的方程为：
