解析几何专题汇编7抛物线的切线问题

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1、第七部分、抛物线的切线问题1．(08广东)设，椭圆方程为=1，抛物线方程为．如图6所示，过点F（0,b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点，（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆的左右端点，试探究在抛物线上是否存在点,使为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．解：（1）由得，当得，G点的坐标为，，，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的

2、只有一个，同理以为直角的只有一个。若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，。关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。2．已知动圆过定点，且与定直线相切.（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；（II）若是轨迹C的动弦，且过，分别以、为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明:.解：（I）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线上因为抛物线焦点到准线距离等于4,所以圆心的轨迹是（II），，抛物线方程为所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是，，所以，3．（08陕西）已知抛物线：，直线交于两点，是线段

3、的中点，过作轴的垂线交于点．（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．xAy112MNBO证明：（Ⅰ）如图，设，把代入得．由韦达定理得．，点的坐标为．，，抛物线在点处的切线的斜率为，．（Ⅱ）假设存在实数，使．由（Ⅰ）知，则，，，解得．即存在，使．ABCPQOxyl4．(07江苏)如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点．一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点．（1）若，求的值；（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．解：

4、（1）设直线的方程为，将该方程代入得．令，，则．因为，解得，或（舍去）．故．（2）由题意知，直线的斜率为．又的导数为，所以点处切线的斜率为，因此，为该抛物线的切线．（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设．若为该抛物线的切线，则，又直线的斜率为，所以，得，因，有．故点的横坐标为，即点是线段的中点．5．已知过点的直线与抛物线相交于、两点，、分别是抛物线在、两点处的切线，、分别是、与直线的交点．（1）求直线的斜率的取值范围；（2）试比较与的大小，并说明理由．解：（1）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．由方程消去得．①∵直线与抛物线相交于，两点，∴，解得或．故

5、直线斜率的取值范围为．（2）解法1：∵，是方程①的两实根，∴∴，．∵，∴．∵，∴切线的方程为．令，得点的坐标为．∴．同理，可得．∵（）．故．解法2：可以断定．∵，是方程①的两实根，∴∴，．∵，∴．∵，∴切线的方程为．令，得点的坐标为．同理可得点的坐标为．∵．∴点是线段的中点．故．6．如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为．（Ⅰ）求证：三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，

6、请说明理由．yxBAOM解：（Ⅰ）证明：由题意设．由得，得，所以，．因此直线的方程为，直线的方程为．所以，①．②由①、②得，因此，即．所以三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时，将其代入①、②并整理得：，，所以是方程的两根，因此，，又，所以．由弦长公式得．又，所以或，因此所求抛物线方程为或．（Ⅲ）解：设，由题意得，则的中点坐标为，设直线的方程为，由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得．若在抛物线上，则，因此或．即或．（1）当时，则，此时，点适合题意．（2）当，对于，此时，，又，，所以，即，矛盾．对于，因为，此时直线平行于轴，又，所以直线与直线

7、不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的点．综上所述，仅存在一点适合题意．