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1、抛物线的切线问题天台平桥中学杨启—、教学目标、重点、难点1.知识目标：掌握抛物线的切线方程的求法，巩固“坐标法”在解决直线与抛物线线位置关系问题的应用.2.能力目标：培养学生的运算能力和思维能力，让学生进一步体会数形结合、化归与转化的数学思想.3.情感目标：通过问题的探究，培养学生勇于探索的精神，使学生经历一个发现问题，研究问题，解决问题的思维过程，从中领悟其过程所蕴涵的数学思想，体验数学发现和创造的历程，培养学生的创新精神.4.教学重点和难点：在抛物线的切线问题的情景下，用“坐标法”解决直线与抛物线的位置关系问题.二、教学过程（-
2、）引入在近5年高考中，有些省份的解析几何题出现了以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题，如2005江西，2006全国卷II,2007江苏，2008山东，2009浙江等试题中的解析几何题都以抛物线的切线形式出现，所以我们有必要研究这些题口，希望通过研究它们来进一步提高我们对直线与抛物线的位置关系的认识,提高我们的解题能力.（―）典型例题例1（2007江苏，19）如图，在平面直角坐标系兀Oy中，过y轴正方向上一点C（0,c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于A,B两点，一条垂直于兀轴的直线，分别与线段AB和直线/:y=-c交
3、于两点.（1）若OAOB=29求c的值;（2）若P为线段的屮点，求证：04为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由.分析：（1）设WAB的直线方程，及4,B两点坐标联立抛物线方程，利用韦达定理即可.（2）AQ的斜率用A点导数表示，也可用两点斜率公式表示，两者相等就得证.（3）先写出逆命题，再利用斜率和等.解：（1）设直线人B的方程为y=kx+c,将该方程代入y=x2^x2-kx-c=0.令AO】,彳）,Bg'X；），则xxx2=-c.*.*OA•OB—+兀「兀；=—c+c~=2,c—2,或c=一1（舍去）.故（
4、=2.⑵由题意知Q（丄竺,-c）,92巧+C”勺二2丫州一兀2_12QA为此抛物线的切线.宜线4Q的斜率为心qX+X21厂又y=%2的导函数为）/=2兀，所以点A处切线的斜率为2码.因些，（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设2（x0,-c）,若AQ为该抛物线的切线，贝'JkAQ=2x,.27乂直线AQ的斜率为kAQ=玉乂=玉二竺，兀］-x0X,-兀（）・.卅—“勺=2x…兀
5、-心1°/.2%!%0=xf+x}x2.・.兀（）二旺;*2a工0）所以点P的横坐标为乩也，即逆命题成立.2评析：本题只要抓住斜率相等关键条件，结合韦达定理
6、，准确地运算，即可得到解答.例2（2010浙江金华十校）已知抛物线Ci：y=x2,2椭圆C2：x2+^-=l.（1）设厶,4是G的任意两条互相垂直的切线，并设l^l2=M,证明：点M的纵坐标为定值；（2）在Ci上是否存在点P,使得G在点P处切线与C?相交于两点4、B,HAB的中垂线恰为G的切线？若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由.分析：（1）设出切点坐标（州,兀］彳）,（兀2,兀;）,利用导数可写岀两个切线方程y-彳=2為（兀-兀］）,y-x；=2x2（x-兀2），又厶丄＜2可得到斜率之积2坷2；2=-1通过运算得到结论「（2
7、）设出坐标写岀切线方程联立椭圆方程，利用韦达定理及（1）找出相关的关系式进而解出点P从标.解：（1）设切点分别为（兀1，彳）,（兀2，近），由V=2x可得人的方程y_兀］$=（x-Xj）即y=2x}x-xf①厶的方程y=2x2x-x^②噪立①②并解之，得即为点M的坐标(迸旦,州兀2)•/1、丄12:.2兀］2兀2=一1，所以yM=xxx2=——即点M的纵坐标为定值-丄.4(2)设Pg，爲)，则Ci在点P处的切线方程为y=2xQx-xl，代入C2方程4x2+/-4=0,得(4+4-Xq)兀2—4-XqX+Xq—4=0,设A(x3,y3
8、),B(x4,y4),贝！J心+“理-44+4爲A=16（4+4xj-x（t）＞0出(1)知yM——,从而———=—,即心(x3+兀4)—尢；——，24*v411进而得-球二-丄，解得对二丄1+兀：°43经检验对=*满足△〉()，所以这样的点P存在，其坐标为(±丰丄)评析：本题通过导数得到切线斜率，使求切线方程过程得到简化，’为求点M的坐标奠定基础，点M又使两小量连接起來.关于存在性问题，务必要检验结论成立的条件.本题变量多，运算量大，只有在清晰的思路的引导下，规范书写，才能避免岀错.(三)练习(2006全国II,21)已知抛物线x
9、2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点，且乔=兄可(2〉0).过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(I)证明而•忑为定值；(II)设ABM的面积为S,写出5=/(A)的表达式，并求S的最小值。解：⑴由题意，设直线的方
