相似三角形与圆综合.docx

《相似三角形与圆综合.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、(一）知识复习巩固圆的基本性质：圆周角性质，垂径定理逆定理，切线长定理相似三角形四种判定，及性质(二）例题精讲：例1、已知：如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BF于点F,B为切点。求证：(1)BD平分∠CBF;(2)AB⋅BF=AF⋅CD.考点：相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，弦切角定理分析：（1）由于AF是∠BAC的角平分线，那么∠1=∠2，利用弦切角定理可得∠1=∠3，利用同弧所对的圆周角相等，可得∠2=∠4，那么，可证∠3=∠4，即BD平分∠

2、CBF；（2）由于∠3=∠1，∠F=∠F，那么可证△DBF∽△BAF，再利用相似三角形的性质，可得相关比例线段AB：AF=BD：BF，又由于∠1=∠2，同圆里相等的圆周角所对的弧相等，而同圆里相等的弧所对的弦相等，从而BD=CD，等量代换，可得AB：AF=CD：BF，即AB•BF=AF•CD．解答：证明：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2,(2分)∵BF切⊙O于点B，∴∠3=∠2，∴∠3=∠1,(4分)又∵∠2=∠4，∴∠3=∠4,即BD平分∠CBF;(6分)(2)在△DBF和△BAF中，∵∠3=

3、∠1，∠F=∠F，∴△DBF∽△BAF,(8分)∴BDAB=BFAF即AB⋅BF=AF⋅BD(10分)∵∠1=∠2，∴BD=CD,(11分)∴AB⋅BF=AF⋅CD.(12分)例2、已知：如图,△ABC内接于圆,AB=AC,D为延长线上一点,AD交圆于E.求证：AB2=AD⋅AE.考点：相似三角形的判定与性质，圆周角定理分析：如图，作辅助线；证明△ABE∽△ADB，列出比例式，即可解决问题．解答：证明：如图，连接BE；∵AB=AC，∴∠B=∠ACB；∵∠AEB=∠ACB，∴∠AEB=∠B，而∠BAE=

4、∠BAD，∴△ABE∽△ADB，∴AB:AD=AE:AB，∴AB2=AD⋅AE.例3、如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30∘，C是弦AB上的任意一点(不与点A. B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.(1)弦长AB等于______(结果保留根号)；(2)当∠D=20∘时，求∠BOD的度数；(3)当AC的长度为多少时，以A.C. D为顶点的三角形与以B.C. 0为顶点的三角形相似?请写出解答过程。考点：圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形分析：（1）过点O作

5、OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；（3）由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．解答：(1)过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE=12AB，∠OEB=90∘，∵OB=2，∠B=30∘，∴BE=OB⋅cos∠B=2×3√2=3√∴AB=23√；故答案为

6、：23√；(2)连接OA，∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，又∵∠B=30∘，∠D=20∘，∴∠DAB=50∘，∴∠BOD=2∠DAB=100∘；(3)∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO>∠A，∠BCO>∠D，∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90∘，此时∠BOC=60∘，∠BOD=120∘，∴∠DAC=60∘，∴△DAC∽△BOC，∵∠BCO=90∘，即OC⊥AB，∴AC=12AB=3√.∴当AC的长度为3√时

7、，以A.C. D为顶点的三角形与以B.C. 0为顶点的三角形相似。例4、如图,在△ABC中,∠ACB=90∘，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的三边，交点分别是G，E，F点.EG与CD交点为M.(1)求证：∠GEF=∠A；(2)求证：△OME∽△EMC；(3)若ME=46√，MD:CO=2:5，求⊙O面积。考点：圆的综合题分析：（1）连接DF，如图所示，由CD为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠CFD为直角，又因为∠ACB为直角，利用同位角相等的两直线平行，得到DF与AC平行，根

8、据两直线平行同位角相等可得出∠BDF=∠A，而∠BDF与∠GEF都为弧FG所对的圆周角，利用同弧所对的圆周角相等得到∠BDF=∠GEF，等量代换可得证；（2）由D为AB的中点，即CD为直角三角形ABC斜边AB的中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得出CD与AD相等，都为AB的一半，利用等边对等角得到∠A=∠DCA，由（1）∠A=∠GEF，等量代换得到∠GEF=∠DCA，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得证；（3）由（2）得出的三角