[精品]向量数量积几何意义的应用.doc

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1、向量数量积几何意义的应用向量数量积几何意义的应用【摘耍】向量是高中数学新课程新增的知识，每一年都进入了高考试题.向量的数量积是向量屮的重点，它的几何意义帮助学生理解向量作为工具的内涵•恰当应用向量数量积的儿何意义解题能事半功倍，能最大限度地缩减思维量和运算量。【关键词】几何意义；数量积；向量设a—、b—是两个出零向量，丨b-*

2、cos叫做向量b—在a—方向上的投影，当为锐角时，投影为正值；当为钝角时，投影为负值；当为直角时，投影为0•从而得到a->-b->的儿何意义：数量积a—・b—=

3、a^

4、

5、b—

6、cos等于a—的长度

7、a^

8、-与b—在a—方向上的投影

9、

10、bf

11、cos的乘积。一、用数量积几何意义解线性规划教材对求解形如Z=ax+by的目标函数在线性约束条件下的最值一般都是将二元一次函数(目标函数)转化为求直线在y轴截距的问题，然后利用线性规划知识来求解.但如果把Z—,其中二(a,b),=(x,y),因为为定值，所以由数量积的几何意义可知，Z的最值依赖于在方向上的投影HcosO的最值，此投影点的最佳点即为最优点•当可行域存在点A,使在方向上的投影IIcosO最大时，Zmax=■；当可行域存在点B,使在方向上的投影

12、

13、cos。最小时，Zmin=・。例1设变量x,y满足x+yWl,x-yWl,x20,则Z二x

14、+2y的最大值和最小值分别为()(A)1,-1(B)2,-2(C)1,-2(D)2,-1解：作出图1,设N(x,y)为可行域内任一点，M(l,2),则Z=・，由数量积的几何意义：当N(x,y)在点A(0,1)处时，Zmax=2；当N(x,y)在点B(0,—1)处时，Zmin=-2o二、用向量数量积几何意义解如下平面几何的问题1•平面多边形的问题例2.如图2,正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量数量积最大的是()A.B.C.D.解：四个选项都有，由数量积的几何意义知某个向量在向量方向上的投影最大数量积就最大，过点卩3,P4,P5,P6分别作在向量上的

15、投影，向量在向量上的投影最大，故选Ao2.有关圆的问题在圆上一点引半径和一条不过圆心的弦，因为圆心与弦中点的连线垂直弦，故半径对应的向量在弦投影等于弦的一半。例3.已知AB是半径为r的圆0的弦，且AB=2,试探究・是否为定值(r为变量)？若是定值，请求出；若不是，请说明理由。解：如图3,过点0作0H丄AB垂足为H,贝I」在投影为AH,故•二AH・

16、

17、二23.有关三角形的问题设0是AABC的外心，因为外心是三边屮垂线的交点，故由向量数量积的儿何意义可知：在三角形各边的投影为所在边的一半。例4.如图4,AABC中，AB=3,AC二5,若0ABC的外心，则・二

18、。解：注意到向量的加法运算及数量积的儿何意义，便有如下简解。•二・(-)二•一・・・・0为是ZXABC的外心，・•・・二1一2

19、

20、2二9-2,•二1-2丨

21、2二25-2故•二8三、用向量数量积儿何意义解立体儿何距离问题设平面a的一个法向量为A为平面a外一点，AC丄Q,垂足为C,B为平面a内任一点，则由数量积的儿何意义得：点A到平而a的距离AC等于在n-方向投影的绝对值。•.*I・n—

22、二

23、

24、・

25、n—

26、・

27、cosZBAC

28、,/.d=

29、

30、-

31、cosZBAC

32、=-n->

33、/

34、n-

35、(*)例5•已知正方形ABCD是边长为4,E、F分别为AB和AD的屮点，GC丄平

36、面ABCD于C,且GC二2,求点B到平而GEF的距离。解：如图5,建立空间直角坐标系，则G(0,0,2),F(4,2,0),E(2,4,0),B(0,4,0).所以二(2,-2,0),=(2,4,-2),=(2,0,0)设平面GEF的法向量为n->=(x,y,z),则n—・二0,n—・二0,/.2x-2y=0,且2x+4y-2z二0,即x二y且z=3y,令y二1,贝Ijn->=(1,1,3)二得点B到平面GEF的距离为:d二

37、-n->

38、/

39、n-

40、=2V11/11用向量法解空间距离时，(*)式为求距离的统一公式，其中求两条异面直线的距离时，n-为与两异面直

41、线的方向向量都垂直的向量，A、B分别为异面直线上的任意两点；在求两平行平面的距离时，n-为两平而的一个法向量，A、B分别为两个平面内任意两点。以上是向量数量积儿何意义应用的儿个方面，向量数量积儿何意义的应用丰富了中学数学内容，拓宽了学生的视野，对培养学生的数形结合能力、探索能力和创新能力起到很好的效果。