平面向量数量积及其几何意义.ppt

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1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义珠海市田家炳中学高一数学组定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)

2、λa

3、=

4、λ

5、

6、a

7、(2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角

8、当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=

9、F

10、

11、S

12、cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量

13、a

14、

15、b

16、cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·ba·b=

17、a

18、

19、b

20、cosθ定规定:零向量与任一向量的数量积为0注意：向量的数量积是一个数量。向量的数量积是一个数量，那么它

21、什么时候为正，什么时候为负？思考：a·b=

22、a

23、

24、b

25、cosθ当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABθabB1解：a·b=

26、a

27、

28、b

29、cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知

30、a

31、=5，

32、b

33、=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。练习：1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=04．若a·b=0，则

34、a·b中至少有一个为0．5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c6．若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立．7．对任意向量a有√×××××√二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三个向量，注：例2：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3、的夹角为解:练习：小结：1、已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量

35、

36、a

37、

38、b

39、cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·ba·b=

40、a

41、

42、b

43、cosθ重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABθabB12作业：P108T1、2、3