平面向量数量积的物理背景及几何意义课件.ppt

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1、平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积物理背景及其含义已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS那么力F所做的功W为：情景引入W=

2、F

3、

4、S

5、cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。数量积的定义（1）两向量的数量积是一个数量，注意已知

6、两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即（2）a·b不能写成a×b，‘·’不能省.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：a·b=

7、a

8、

9、b

10、cosθ当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。例题讲解例1．已知=5，=4，与的夹角，求.变式:如图的菱形ABCD中，角A等于，AB=2,求下列各数量积.DABC例2已知=(1,1),=(2,0),求。解：重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向

11、量，的夹角，则特别地OABθabB1求模的方法判断垂直的又一条件求角物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF对非零向量a与b，定义

12、b

13、cosθ叫向量b在a方向上的投影．

14、a

15、cosθ叫向量a在b方向上的投影．数量积的几何意义，过点B作则的数量是

16、b

17、cosθ（不是向量）a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度

18、a

19、与b在a的方向上投影

20、b

21、cos的乘积。θ为锐角时，

22、b

23、cosθ＞0θ为钝角时，

24、b

25、cosθ＜0θ为直角时，

26、b

27、cosθ=0数量积的几何意义OABbaB1B1

28、OABbaOABba回顾实数运算中有关的运算律，类比数量积得运算律:在实数中在向量运算中交换律:ab=ba()结合律：(ab)c=a(bc)()()分配律：(a+b)c=ab+bc()消去律:ab=bc(b≠0)a=c()√√√××数量积的运算律数量积的运算律已知向量a、b、c和实数，则:则：(a+b)·c=ON

29、c

30、=(OM+MN)

31、c

32、=OM

33、c

34、+MN

35、c

36、=a·c+b·c.ONMa+bbac向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)典型例题例1.已知向量a，b,求证下

37、列各式证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.向量的数量积运算类似于多项式运算解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是（a+kb）·（a-kb）=0即a2-k2b2=09-16=0所以，k=例4、(2009·海南、宁夏高考，理9)已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心

38、、重心、垂心D．外心、重心、内心夹角的范围运算律性质数量积(3)(a＋b)·c=a·c＋b·ca·a=

39、a

40、2（简写a2=

41、a

42、2）知识回顾:(2)(1)a·b=b·a(交换律)(分配律)判断正误，并说理.1.已知向量和实数1．若，则中至少有一个为．2.若b≠0，a·b＝c·b，则a=c4.对任意向量a有3.(a·b)c=a(b·c)××××√巩固练习2.已知△ABC中,AB=a,AC=b,当a·b<0,a·b=0时,△ABC各是什么三角形？当a·b＜0时，cos<0，为钝角三角形当a·b=0时，为直角三角形巩

43、固练习3.在△ABC中a=5,b=8,C=60o,求思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。解：设则，由此可得：即，∠ACB=90°课后作业:P1081——8(习题).预习向量的数量积的坐标表示