平面向量数量积的物理背景及几何意义a 课件.ppt

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1、平面向量的数量积平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标研读1．课堂目标掌握平面向量的数量积及其几何意义、性质及运算律．理解用向量研究垂直的方法．2．重点难点重点：平面向量数量积的概念．难点：对平面向量数量积的定义及运算律的理解及应用．自学提纲：1.复习物理学中的功的定义是怎样的，它是标量还是矢量？2.两个向量的夹角是如何规定的？范围是什么？3.如何理解向量在轴上的正射影？它是一个向量还是一个数？4.向量的数量积是如何规定的？如何表示？有哪些性质？已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角当θ＝0°时，a与

2、b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=

3、F

4、

5、S

6、cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量

7、a

8、

9、b

10、cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·ba·b=

11、a

12、

13、b

14、cosθ定规定:零向量与任一向量的数量积为0。

15、a

16、cosθ（

17、b

18、cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的数量积是一个数量。向量的数量积是一个数

19、量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：a·b=

20、a

21、

22、b

23、cosθ当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABθabB1解：a·b=

24、a

25、

26、b

27、cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知

28、a

29、=5，

30、b

31、=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

32、a

33、=√2,

34、b

35、=2,θ=45°∴a·b=

36、a

37、

38、b

39、cosθ=√2×2×cos45°=2a·b的几何意义：OABθ

40、b

41、cosθabB1

42、等于的长度与的乘积。练习：1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=04．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c6．若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立．7．对任意向量a有√×××××√二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三个向量，注：ONMa+bbac向量a、b、a+b在c上的投影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1

43、）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.例4、的夹角为解:3、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。解：设则，由此可得：即，∠ACB=90°