二次函数逆向最值问题的优化策略.pdf

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1、第9期高中毅学教与学二次函数避向最值问题硇优化策略龚海滨王茜(江苏省扬州市新华中学，225009)二次函数逆向最值问题，指的是已知二+I，对称轴为Y轴，符合题意；次函数在某区间l：的最值，求参数的取值或若)=3，则。=一1，此时)取值范围的问题．这类问题灵活性大、题型新颖、综合性强，能有效地考查学生的思维品质=～÷一2x+l，但此时对称轴=一2《干¨学习潜能，特别是综合分析能力及逆向思维．若按常规方法求解这类问题，往往较繁[一÷，2]，故不合题意，舍去·．琐，且难度较大．本文举例说明处理二次函数综上所述，。的值为

2、÷或一÷．逆向最值问题的一些优化策略，供大家参考．一、代入验证法评注二次函数在闭区间上的最值必在例1已知二次函数)=。+(2a，一区间的端点或抛物线顶点处取到，所以，将二次函数图象的顶点与区间端点的函数值分别1)+1在区间I一÷，2I上的最大值为3，求实代入验证．即可确定二次函数在区间上的最数。的值．值．透过现象看本质，解题时不仅回避了繁琐分析本题若按常规方法求解，需分：的分类讨论，而且可以轻松得解．(1)“>0；(2)<0讨沦．在这两种情形中，二、定量分析法又要分别考虑对称轴相对于区问端点的位例2已知函数八)=

3、一÷。+，问是置，每、一种情况又要分为3种情况讨论，比较麻烦!实际上，二次函数在闭区间上的最值必否存在m，1／,ER，使得_厂()在区问[m，n]上在区间的端点或抛物线顶点处取到，根据这值域为[2m，2n]，若存在，求出／71,，n的值，若不个规律采用代人验证法，可以同避分类讨论，存在，请说明理由．取得简捷快速的效：果．分析含参数的二次函数在闭区间上的解因，()=2ax+(2a一1)，故函数最值问题，常规解法是根据二次函数图象抛)的最大值只可能在一32，垫处取物线的对称轴相对于区间的位置分类讨论．，本题)=一÷(

4、一1)+÷，若按对称轴相得．对于区间的位置，则需分4种情况讨论，计算若，(一罢．)=3，则。=一专，此时)量较大目．易出错．但若考虑到)≤÷，则必一一}2一}黼轴=一一有2n≤了1，即n≤÷，据此，可得如下简捷解符合题意；若2)=：3，则n=÷，此时'，()：÷2法。解假设存在∈R，使)在区间·45·高中数学教与学2014燕[m，n]_}值域为【2t，2n]．-．‘)=一1(～同理，当口

5、的最值’．．．2n≤，寺l，即n≤÷，，故，()的对称轴恒在区间[，解得n二，6一1．n]的右侧，囡此，()在[rn，n上是增函数，故综。E所述，n1，b：掣，或m)=一寺m。+m=2m，二6：，n)一+n=2n。评注在处理某些含参数的二次函数在闭区间』二的最值问题时，不能盲目进行分类叉因m

6、、两边夹法数．厂()的值域为f÷D，上nJi，试确定，的值．例4已知函)：++，g()分析如作出．，)的图象，然后按以下=n+b，口>0，当x∈[一1，1]时，．厂()的缸情况讨论：①一2<

7、可以简化讨沦过I訇条件，当∈[一1，1时，g()在一1．11一L程．的最大值为2，可知+b：2，即6=：2—8，故解依题设，易知．，’()=a+(2一n)+c．又由条件，当{兰[～1，1]时)的值域为f一1，1]，需根据对．厂c={芝’．称轴=车Zk~xq：=,PX间的位援，分车曼，·。<6，且{0．口0》1四种情况分类讨论，比较繁琐!注意到一1而当≥0时4(x)：一(一1)+1≤1，≤)《1恒成立，可以用两边夹的方法来确故若0<。<6，则⋯≤1，即n≥I．

8、定参数的值，筒化求解过程．解’．’>0【ig()在[一1，1]t的鼹’．)在区问[1，十∞)}：为减函数，故_丈值为2，．‘．g(1)：n+b=2，于是(。)=2n—。寺，1)一0)：2，得0)=I)一2．’’～．l≤L厂(1)《I，6)=26。=一，’一．．3《．f(o)≤⋯1，①丽一}≤。厂(0)≤1，②·．．由①、②，知0)：一l，c．二一1．第9高中数学教与学酒杯