（n-1）维曲面所围空间体积的计算公式.pdf

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1、第3O卷第4期大学数学Vo1．30，No．42014年8月CoIIEGEMATHEMATICSAug．2014(一1)维曲面所围空间体积的计算公式陈凌蛟(东南大学吴健雄学院，南京210096)[摘要]在不使用Green公式的情况下，通过变量代换的办法，将简单闭曲线所围的区域用它的边界表示出来，结合积分换元公式，给出了一种求解曲线所围区域面积的新方法，并且推广到了”维空间，得出了求取一1维曲面所围空间体积的新公式，并通过应用实例，尤其是对标准n维单纯形体积的计算，显示了本文提供新方法的优势与应用前景．[关键词]重积分；变量代换；边界条件；闭曲面；围成体积；标准n维单纯形[中图分类号

2、]O172．2[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2014)040102—061引言在高等数学理论l1中，对于求解光滑闭曲线(曲面)所围区域面积(体积)的问题，由于在方法上采用了Green公式，难以推广到维空间求取光滑闭曲面所围区域的体积．本文则从变量代换的角度，用类似极坐标变换的方式，将闭区域的内部用它的边界表示出来，再利用重积分的变量代换公式，求出闭区域的面积．进一步地，将这一思路应用到高维空间当中，得出了高维空间中光滑闭曲面所围区域体积计算的一个新公式．文章的最后，给出了本文的新方法与新公式的几个应用举例，尤其在单纯形体积计算上，体现出了本文所得结果的实用价值．

3、2简单闭区域面积计算公式新的证明如引言所述，在一些高等数学的文献里，求简单闭曲线所围区域面积的公式，是作为Green公式的一个推论给出的．Green公式在二维平面中确实有很广的应用，但由于Green公式本身是针对平面围线积分的，所以这种方法并不便于向维空间做推广．本文为了利于把求闭曲线所围区域面积的公式推广向维空间，给出了下面完全不同的证明方法．定理1设D为平面上包含原点的有界区域，其边界为光滑的简单闭曲线f—(t)，{＼v—v(，￡、)t∈Ln，6]，，且满足z(f)(￡)一Y(￡)()≠0，则D的面积为S一告Il(f)(￡)一y()z(￡)Idt．证注意区域D可以表示为D={

4、(，)Iz===z(r)·，Y—(￡)·“，a≤t≤b，0≤U≤1}，并记D一{(t，“)ln≤t≤b，0≤≤1)．当U≠0时，[收稿日期]2013-09—29第4期陈凌蛟：(n一1)维曲面所围空间体积的计算公式1038x8x8t8ua(z，)～一8(t，“)8y8y筹一笔===“(z)．)，()一)z())≠0．8t9u根据有界闭区域上重积分的变量代换定理，得到S一『D』dzd一Ⅱ·1一Ⅱz∽))IdtdDD。一IuduII()3，(￡)一Y(t)z(￡)ldt一寺IIz()(￡)一(￡)z()Idt．关于定理1的几点注记：注1定理1中的条件z(f)(￡)一Y()z(￡)≠0是

5、为了保证从xOy平面到tOu平面的映射满足一一对应关系．事实上，只要闭区域D内满足(￡)(￡)一．y()()≥0(≤0)，且等于0的所有点构成的点集D的测度为0，上述定理依然成立．特别地，当D为有限集时，定理成立．注2定理1中的条件“包含原点”是为了保证从xOy平面映射到tOu平面时，可以直接把区域D表示为D一{(z，)lz—z(￡)·“，Y—(f)·，n≤t≤b，0≤≤1}．而对于不包含原点的情形，根据积分与坐标平移的无关性，可以先将闭区域D做适当平移，使得D包含原点，这就又回到了定理1中的条件．3高维空间区域体积计算的新方法如上节所述，本文对定理1给出新的证明方法是为了能够在

6、n维空间做有效的推广．事实上，这一方法除了通过变量代换用高维区域的边界条件表示其内部外，只需要再结合重积分换元公式[8]，就可以推广到维空间中．下面的定理对这一推广给出了完整的表述和证明．定理2设D为n维空间上包含原点的有界区域，其边界为光滑的一1维简单闭曲面{(1(1，“2，⋯，“一1)，z2(1，2，⋯，U一1)，⋯，(1，2，⋯，一1))Ia≤≤6，l≤≤)，目满足8x1a—8u．—8u1-1ax28x2—OUn—8u1-1≠0，8xaz—8U．—zn8u1-1则它的体积为l：礼。r"⋯』J’≥I；端Iddz⋯d，．证区域D可以表示为f一2'⋯州’J一z。⋯’’(‘1．“2

7、，，．⋯，·“，“)J∈，[Xn—，，⋯，一．，其中D一{(“，2，⋯，“1，)l0≤“≤1，a≤≤b)．记D一{(“l，“2，⋯，)la≤≤b)，则“≠0时dLUl，U2等’⋯，Un-I，一dUl’U2等，⋯’“1南，1≠0．104大学数学第30卷根据有界闭区域上重积分的变量代换定理，得到、，r一Ⅱ1也D一lld“dz⋯dD一ⅡIld。dz⋯d“D!!：：：!!一J．(，“⋯器l，9U2n，-1⋯，1，“J，广Id1，1d)Mdulduz"'"du．-11r，r：=——l⋯Jn