在三维欧氏空间的二维曲面上的Lagrange力学和变分格式

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1、首都师范大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：邢湘琳汤帚并且琳日期：2008年5月25日首都师范大学学位论文授权使用声明本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。

2、有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。学位论文作者签名：邢湘琳彳甲稠琳日期：2008年5月25日首都师范大学2008年硕士毕业论文引言变分思想，大约起源于公元零世纪前后，经过约二十个世纪，尤其是文艺复兴以后的一大批科学家的努力，变分原理的研究已成为各学科的重要的研究领域，并广泛地应用到各个领域。在Lagrange力学体系中，只要用广义坐标写出Lagrangian，那么Lagr

3、ange方程就能提供力学体系的运动微分方程，体系的运动就可确定，但是这样得到的运动方程往往是局部的。2007年美国数学家LeeSf【ILeok等在【21中，讨论了定义在二维球面拓扑积上Lagrange力学系统和变分格式，得到了球面上的Euler—Lagrange运动方程的整体形式，这里运动方程和变分格式避开了在使用局部参数化或具体限制时遇到的奇异性和困难性【15，16】，从而提供了整体上研究s2)-上的动力学的方法，他们得到(s2)n上的离散Euler-Lagrange方程在保持动力学的几何性质和(s2)n的流形结构意

4、义下是唯一的。本文就是在上述启发下，对三维欧氏空间的二维曲面M=．【g∈R3Iq=(z，Y，z)且满足r(x，Y，z)=o)做类似的讨论。我们同样讨论了定义在三维欧氏空间的二维曲面M拓扑积上的Lagrange力学系统及其变分格式，通过定义三维欧氏空间的二维曲面上的无穷小变分，得到了三维欧氏空间的二维曲面M拓扑积上的整体的EuleroLagrange运动方程。对于离散情形，这里我们采用一般的离散差分原理和差分离散变分原理两种方法处理。下面介绍以下本文的框架，本文首先简单回顾经典力学中的变分原理f6，7】和一般差分系统的离

5、散变分原理【12】及差分离散变分原理【1】，然后讨论了在三维欧氏空间的二维曲面M的拓扑积上连续的和离散的Lagrange力学系统以及离散变分在它们上的简单运用。§1经典力学中的变分原理及差分系统的一般离散变分方法和差分离散变分原理本节背景知识的介绍重要来自于参考文献【1】和【3，4】。§1．1经典力学系统的变分原理完全确定质点系位置的独立坐标称为广义坐标，确定其位置的独立坐标2在三维欧氏空间的二维曲面上Lagrange；}-J学和变分格式的个数称为质点系的自由度。在完整约束的情况下，质点系广义坐标的数目等于自由度。确定

6、一个自由质点在空间的位置需要三个独立的参数，所以一个自由质点体系有三个自由度，若一个质点系有m个质点组成，受到s个约束，则在3m个系统中只有礼=3m—s个坐标是独立的。因此n为该质点系的自由度。现用(g。，口2，⋯，‰)表示系统的广义坐标，它们所属的空间记为位形空间M。该系统从t。时刻到t。时刻的演化，y(z)=p(t)；江1，2，⋯，礼；芒1≤t≤t2)．设L为Lagrangian，即L=L(qi，袁，t)(i=1，2，⋯，礼)。Hamilton作用量的定义：Lagrangian在时间t1到t2的积分／．t2S=／L

7、dt，(1．1)称之为Hamilton意义下的作用量。显然S为一个泛函，由n个广义坐标吼(t)决定。定理1．1．如果曲线7(t)=@(t)，江1，2，⋯，n)是作用泛函p．砂跗)=‘2工(姒谳t)班在通过吼(t。)，qi(t。)的全部曲线构成的空间上的极值点，当且仅当下列方程成立面d(瓦OL)一丽OL=。，江1，⋯，n．(1．2)此方程称为作用泛函s(7)的EuIer-Lagrange方程。方程(1．2)是变分方程的一般形式。回到经典力学中，变分原理可以归结为如下定理所表述的Hamilton最小作用原理。定理1．2．(

8、Hamilton最小作用原理，变分原理l对于完整的保守的力学系统，在相同的时间，相同的起始和终了位置，相同的约束条件下，系统在所有可能的各种运动中真实运动使Hamilton'-用量取极值。即，．￡2，、Js(7)=／(fL(吼(￡)，反(￡)，t)dt=0首都师范大学2008年硕士毕业论文3满足6q,(t1)=6qi(t2)=0，